Seja r a razão em que o ponto P divide o segmento orientado não nulo A B, então:
(a) r \neq 0 e \overrightarrow{A P}=\frac{r}{1+r^{2}} \overrightarrow{A B}
(b) r \neq 1 e \overrightarrow{A P}=\frac{-r}{1-r} \overrightarrow{A B}
(c) r \neq-1 e \overrightarrow{A P}=\frac{-r}{1+r} \overrightarrow{A B}
(d) r \neq-1 e \overrightarrow{A P}=\frac{r}{1+r} \overrightarrow{A B}

Passo 1

O enunciado trata de divisão interna de um segmento orientado AB por um ponto P segundo uma razão r. O conteúdo é vetor posição e soma de vetores, e precisaremos usar a relação
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB}
junto com a definição de razão r = \dfrac{AP}{PB}.

Passo 2

Pela definição da razão, temos
r = \frac{AP}{PB} \quad\Longrightarrow\quad PB = \frac{AP}{r}.

Passo 3

Usando a soma de vetores na divisão do segmento,
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AP} + \overrightarrow{PB} = \overrightarrow{AP} + \frac{1}{r}\,\overrightarrow{AP} = \left(1 + \frac{1}{r}\right)\overrightarrow{AP} = \frac{r+1}{r}\,\overrightarrow{AP}.

Passo 4

Isolando \overrightarrow{AP}, obtemos
\overrightarrow{AP} = \frac{r}{r+1}\,\overrightarrow{AB}.
Para isso fez-se r+1\neq0, ou seja, r\neq -1.

Resposta

(d) r\neq -1 e \overrightarrow{AP}=\frac{r}{1+r}\,\overrightarrow{AB}.

Exercícios relacionados