Identifique os vetores diretores das retas paralelas ao plano \pi: x+y+z=0 e que formam ângulos de 45^{\circ} com o plano \pi_{1}: x-y=0.
(a) (-\sqrt{2}+\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3}) e (\sqrt{2}-\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3})
(b) (\sqrt{2}+\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3}) e (\sqrt{2}-\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3})
(c) (-\sqrt{2}+\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3}) e (-\sqrt{2}-\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3})
(d) (-2+\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3}) e (-2-\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3})
(e) (2+\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3}) e (2-\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3})

Passo 1

O enunciado pede os vetores diretores \vec v=(a,b,c) de retas que são paralelas ao plano
\pi: x+y+z=0
e que formam ângulo de 45^\circ com o plano
\pi_{1}: x-y=0.
Vamos usar produto escalar para expressar (1) a condição de paralelismo a \pi e (2) a relação de ângulo entre vetor e plano.

Passo 2

Para que \vec v seja paralelo a \pi, basta que \vec v seja ortogonal ao vetor normal de \pi, que é \vec n_\pi=(1,1,1). Assim,
\vec v\cdot\vec n_\pi = a+b+c = 0.

Passo 3

O ângulo \alpha entre a reta de direção \vec v e o plano \pi_{1} satisfaz \alpha + \varphi = 90^\circ,
onde \varphi é o ângulo entre \vec v e o normal de \pi_{1}, \vec n_{1}=(1,-1,0). Como \alpha=45^\circ, temos \varphi=45^\circ, logo
\cos\varphi = \frac{\bigl|\vec v\cdot\vec n_{1}\bigr|}{\|\vec v\|\;\|\vec n_{1}\|} = \frac1{\sqrt2}.
Como \|\vec n_{1}\|=\sqrt2, isto implica
\frac{|a-b|}{\|\vec v\|\sqrt2}=\frac1{\sqrt2} \quad\Longrightarrow\quad |a-b| = \|\vec v\|.

Passo 4

Elevando ao quadrado |a-b|^2 = a^2+b^2+c^2 e usando c=-a-b, obtemos
(a-b)^2 = a^2+b^2+(a+b)^2 \;\Longrightarrow\; a^2 -2ab + b^2 = a^2 + b^2 + a^2 +2ab + b^2
\Longrightarrow\; -2ab = a^2 +2ab + b^2 \;\Longrightarrow\; a^2 +4ab + b^2 = 0.
Dividindo por b^2 (assumindo b\neq0) define-se t = a/b e vem
t^2 + 4t +1 = 0 \;\Longrightarrow\; t = -2 \pm \sqrt3.

Passo 5

Escolhendo b=1, temos duas soluções:
  1. t = -2+\sqrt3, então
a = -2+\sqrt3, \quad c = -a - b = 1 - \sqrt3.
  1. t = -2-\sqrt3, então
a = -2-\sqrt3, \quad c = -a - b = 1 + \sqrt3.
Portanto os vetores diretores são
(-2+\sqrt3,\;1,\;1-\sqrt3) \quad\text{e}\quad (-2-\sqrt3,\;1,\;1+\sqrt3).

Resposta

(d)

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