Identifique os vetores diretores das retas paralelas ao plano \pi: x+y+z=0 e que formam ângulos de 45^{\circ} com o plano \pi_{1}: x-y=0.
(a) (-\sqrt{2}+\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3}) e (\sqrt{2}-\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3})
(b) (\sqrt{2}+\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3}) e (\sqrt{2}-\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3})
(c) (-\sqrt{2}+\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3}) e (-\sqrt{2}-\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3})
(d) (-2+\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3}) e (-2-\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3})
(e) (2+\sqrt{3}, 1,1+\sqrt{3}) e (2-\sqrt{3}, 1,1-\sqrt{3})
Passo 1
O enunciado pede os vetores diretores \vec v=(a,b,c) de retas que são paralelas ao plano
\pi: x+y+z=0
e que formam ângulo de 45^\circ com o plano
\pi_{1}: x-y=0.
Vamos usar produto escalar para expressar (1) a condição de paralelismo a \pi e (2) a relação de ângulo entre vetor e plano.
Passo 2
Para que \vec v seja paralelo a \pi, basta que \vec v seja ortogonal ao vetor normal de \pi, que é \vec n_\pi=(1,1,1). Assim,
\vec v\cdot\vec n_\pi = a+b+c = 0.
Passo 3
O ângulo \alpha entre a reta de direção \vec v e o plano \pi_{1} satisfaz \alpha + \varphi = 90^\circ,
onde \varphi é o ângulo entre \vec v e o normal de \pi_{1}, \vec n_{1}=(1,-1,0). Como \alpha=45^\circ, temos \varphi=45^\circ, logo