Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas integral 12 x^3raiz2 x^2+7 d x

Passo 1

Então, você tem que calcular a integral . Vamos usar substituições trigonométricas, que fazem parte do cálculo integral, pra facilitar a resolução dessa integral que envolve uma expressão quadrática dentro de uma raiz.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando 2x^2 + 7 = 7( 2x^27 + 1 ) = 7( ( xraiz2raiz7 )^2 + 1 ) , podemos reescrever como . Para usar substituição trigonométrica, queremos que isso se pareça com uma identidade trigonométrica. Então, vamos fatorar o 2:
Agora, temos algo na forma , que é ideal para a substituição , pois .

Passo 3

Vamos definir a substituição trigonométrica:
xraiz2raiz7 = tan theta Rightarrow x = raiz7raiz2 tan theta
Agora, vamos derivar dx = raiz7raiz2 sec^2 theta , dtheta em relação a para encontrar :

Passo 4

Substituindo integral 12 x^3raiz2 x^2+7 , dx = integral 12 ( raiz7raiz2 tan theta )^3raiz7 sec theta cdot raiz7raiz2 sec^2 theta , dtheta e = integral 12 ( 7^3/22^3/2 tan^3 theta )raiz7 sec theta cdot raiz7raiz2 sec^2 theta , dtheta na integral original:
Simplificando os termos:

Passo 5

Vamos simplificar os coeficientes e as potências:
= integral 12 cdot 7^3/2 cdot tan^3 theta2^3/2 cdot raiz7 cdot sec theta cdot raiz7raiz2 sec^2 theta , dtheta
Simplificando as potências de 7 e 2:
= integral 12 cdot 7 cdot tan^3 theta2^2 sec theta , dtheta = integral 21 tan^3 theta sec theta , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar 21 integral tan^3 theta sec theta , dtheta = 21 integral (sec^2 theta - 1) tan theta sec theta , dtheta . Lembre-se que 21 integral (u^2 - 1) , du = 21 ( u^33 - u ) + C = 7u^3 - 21u + C , então podemos reescrever a integral:
Vamos fazer uma substituição , então :

Passo 7

Substituindo de volta 7 sec^3 theta - 21 sec theta + C :
sec theta = raiz1 + tan^2 theta = raiz1 + ( xraiz2raiz7 )^2 = raiz2x^2 + 7raiz7
Agora, precisamos expressar isso em termos de . Lembre-se que:
E .

Passo 8

Substituindo 7 ( raiz2x^2 + 7raiz7 )^3 - 21 ( raiz2x^2 + 7raiz7 ) + C na expressão:
7 cdot (2x^2 + 7)^3/27^3/2 - 21 cdot raiz2x^2 + 7raiz7 + C = raiz7 (2x^2 + 7)^3/2 - 3raiz7 raiz2x^2 + 7 + C
Simplificando:

Resposta

A integral raiz7 (2x^2 + 7)^3/2 - 3raiz7 (2x^2 + 7)^1/2 + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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