Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas
Passo 1
Então, você tem que calcular a integral . Vamos usar substituições trigonométricas, que fazem parte do cálculo integral, pra facilitar a resolução dessa integral que envolve uma expressão quadrática dentro de uma raiz.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição que simplifique a expressão dentro da raiz. Observando , podemos reescrever como . Para usar substituição trigonométrica, queremos que isso se pareça com uma identidade trigonométrica. Então, vamos fatorar o 2:
Agora, temos algo na forma , que é ideal para a substituição , pois .
Passo 3
Vamos definir a substituição trigonométrica:
Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Passo 4
Substituindo e na integral original:
Simplificando os termos:
Passo 5
Vamos simplificar os coeficientes e as potências:
Simplificando as potências de 7 e 2:
Passo 6
Agora, vamos integrar . Lembre-se que , então podemos reescrever a integral:
Vamos fazer uma substituição , então :
Passo 7
Substituindo de volta :
Agora, precisamos expressar isso em termos de . Lembre-se que:
E .
Passo 8
Substituindo 7 ( raiz2x^2 + 7raiz7 )^3 - 21 ( raiz2x^2 + 7raiz7 ) + C na expressão: