Uma partícula se desloca sobre o eixo
de acordo com uma função posição
. Sendo
a função velocidade da partícula e a
a função aceleração da partícula, determine
nos casos abaixo:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo
com uma função posição
. Sabemos que a velocidade
é a derivada de
em relação ao tempo, ou seja,
, e a aceleração
é a derivada da velocidade, então
. A gente precisa encontrar a função posição
quando a aceleração é
, com as condições iniciais
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que para achar a posição
, precisamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição. Basicamente, estamos trabalhando com integrais para subir na ordem das derivadas.
Passo 3
Começamos integrando a aceleração
para encontrar a velocidade
. A aceleração é dada por:
A integral de
em relação ao tempo
nos dá
:
Passo 4
Para resolver essa integral, lembramos que a integral de
é
. Aqui,
, então:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar
. Sabemos que
. Substituindo
:
Portanto, a função velocidade é:
Passo 6
Agora, vamos integrar a função velocidade
para encontrar a posição
:
Passo 7
Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:
Passo 8
Agora, usamos a condição inicial da posição
para encontrar
:
Passo 9
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A função posição da partícula é: