Uma partícula se desloca sobre o eixo x de acordo com uma função posição x = x(t). Sendo v(t) = x'(t) a função velocidade da partícula e a t = x''(t) a função aceleração da partícula, determine x = x(t) nos casos abaixo: a(t) = cos(t/4), v(0) = 1/2 e x(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma partícula que se move ao longo do eixo com uma função posição . Sabemos que a velocidade é a derivada de em relação ao tempo, ou seja, , e a aceleração é a derivada da velocidade, então . A gente precisa encontrar a função posição quando a aceleração é , com as condições iniciais e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender que para achar a posição , precisamos integrar a aceleração para encontrar a velocidade e depois integrar a velocidade para encontrar a posição. Basicamente, estamos trabalhando com integrais para subir na ordem das derivadas.

Passo 3

Começamos integrando a aceleração para encontrar a velocidade . A aceleração é dada por:
A integral de em relação ao tempo nos dá :

Passo 4

Para resolver essa integral, lembramos que a integral de é . Aqui, , então:

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar . Sabemos que . Substituindo :
Portanto, a função velocidade é:

Passo 6

Agora, vamos integrar a função velocidade para encontrar a posição :

Passo 7

Integrando cada termo separadamente:
Então, juntando tudo:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial da posição para encontrar :

Passo 9

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

A função posição da partícula é:

Exercícios relacionados