Encontre a série de Fourier indicada para a função dada e esboce o gráfico da função para a qual a série converge em um intervalo de três periodos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a série de Fourier para uma função específica e depois desenhar o gráfico dessa função em um intervalo que compreende três períodos. A função que estamos lidando é definida de maneira diferente em dois intervalos: de -2 a 0, ela é igual a -1, e de 0 a 2, ela é igual a 1. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, que nos ajudam a representar funções periódicas como somas de senos e cossenos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar o período da função. Observando os intervalos onde a função se repete, vemos que ela se repete a cada 4 unidades (de -2 a 2, e assim por diante). Então, o período
é igual a 4. A frequência fundamental
será
.
Passo 3
Agora, vamos escrever a fórmula geral da série de Fourier para uma função par ou ímpar. Como nossa função não é necessariamente par nem ímpar, usaremos a forma completa da série de Fourier:
Vamos calcular os coeficientes
,
e
usando as seguintes fórmulas:
Passo 4
Vamos calcular
:
Agora, calculamos
:
Observamos que a função é ímpar em relação a
, então os coeficientes
serão zero.
Agora, calculamos
:
Simplificando:
Após resolver as integrais, vamos encontrar que:
Passo 5
Agora, juntando tudo, a série de Fourier fica:
Isso significa que nossa função pode ser representada como a soma infinita de senos com coeficientes específicos.
Passo 6
Por último, para esboçar o gráfico da função em três períodos, vamos considerar que cada período tem comprimento 4. Então, três períodos abrangem o intervalo de -6 a 6. O gráfico será uma onda quadrada alternando entre -1 e 1 a cada 2 unidades de
, repetindo esse padrão ao longo de todo o intervalo.
Resposta
A série de Fourier para a função dada é:
E o gráfico da função, representando três períodos (de
a
), é uma onda quadrada que alterna entre -1 e 1 a cada 2 unidades de
, repetindo esse padrão continuamente.