Determine se o método de separação de variáveis pode ser usado para sustituir la equação parcial dada por um par de equações diferenciais ordinárias. Neste caso encontre as equações.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se dá para usar o método de separação de variáveis na equação parcial
. Esse método é uma técnica para resolver equações diferenciais parciais, onde assumimos que a solução pode ser escrita como o produto de funções que dependem apenas de uma variável cada. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo diferencial e álgebra para separar as variáveis e encontrar as equações diferenciais ordinárias resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
pode ser escrita como o produto de duas funções:
. Isso é a base da separação de variáveis.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais necessárias. A segunda derivada de
em relação a
fica:
E a segunda derivada de
em relação a
fica:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na equação original, temos:
Podemos reescrever isso dividindo ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, cada termo depende de uma variável diferente. Para que essa igualdade seja verdadeira para todos os
e
, cada termo deve ser igual a uma constante negativa de
. Assim, temos duas equações:
Essas são as equações diferenciais ordinárias que surgem da separação das variáveis.
Resposta
Sim, é possível usar o método de separação de variáveis. As equações diferenciais ordinárias resultantes são: