Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas integral d xraizx^2-25

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição trigonométrica adequada que simplifique a integral.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos x = 5 sec(theta) no denominador. Quando vemos uma expressão desse tipo, , uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica .
Aqui, , então fazemos a substituição:

Passo 3

Agora, vamos calcular o diferencial dx = 5 sec(theta) tan(theta) dtheta . Derivando ambos os lados da substituição:

Passo 4

Substituímos integral dxraizx^2 - 25 = integral 5 sec(theta) tan(theta) dthetaraiz25 sec^2(theta) - 25 e na integral original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
raiz25 sec^2(theta) - 25 = raiz25 (sec^2(theta) - 1) = raiz25 tan^2(theta) = 5 tan(theta)

Passo 6

Substituindo de volta na integral:
integral 5 sec(theta) tan(theta) dtheta5 tan(theta) = integral sec(theta) dtheta

Passo 7

A integral de integral sec(theta) dtheta = ln|sec(theta) + tan(theta)| + C é uma integral conhecida:

Passo 8

Agora, precisamos voltar à variável original x = 5 sec(theta) Rightarrow sec(theta) = x5 . Lembrando que:
tan(theta) = raizsec^2(theta) - 1 = raiz(x5)^2 - 1 = raizx^2 - 255

Passo 9

Substituindo ln|x5 + raizx^2 - 255| + C = ln|x + raizx^2 - 255| + C e de volta:

Passo 10

Simplificando o logaritmo:
ln|x + raizx^2 - 25| - ln(5) + C
Como ln|x + raizx^2 - 25| + C é apenas uma constante, podemos simplificar para:

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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