Calcule as integrais utilizando as substituições trigonométricas adequadas
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a integral . Esse exercício faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente em integração por substituição trigonométrica. Para resolver, vamos precisar aplicar uma substituição trigonométrica adequada que simplifique a integral.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos no denominador. Quando vemos uma expressão desse tipo, , uma boa estratégia é usar a substituição trigonométrica .
Aqui, , então fazemos a substituição:
Passo 3
Agora, vamos calcular o diferencial . Derivando ambos os lados da substituição:
Passo 4
Substituímos e na integral original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
Passo 6
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
A integral de é uma integral conhecida:
Passo 8
Agora, precisamos voltar à variável original . Lembrando que:
Passo 9
Substituindo e de volta:
Passo 10
Simplificando o logaritmo:
ln|x + raizx^2 - 25| - ln(5) + C
Como ln|x + raizx^2 - 25| + C é apenas uma constante, podemos simplificar para:
Resposta
A integral é igual a , onde é a constante de integração.