Use a derivação implícita para encontrar partial z / partial y, sendo
x y z=cos (x+y+z)
Escolha uma opção:
a. 1-2 x y z^3-2 x^3 y z3 x y^2 z^2+x^3 y^2-1
b. -y z+sen(x+y+z)x y+sen(x+y+z)
c. z-yy-x
d. -x z+sen(x+y+z)x y+sen(x+y+z)
e. y-xx+z
f. x-y-zx+z
g. 1-y^2 z^3-3 x^2 y^2 z3 x y^2 z^2+x^3 y^2-1
h. x+zx-y

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita xy z = cos(x+y+z) e pede ∂z/∂y usando derivação implícita. Vamos usar as regras de derivação de produto e cadeia.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a y (com x constante), no lado esquerdo temos um produto x·y·z. Aplicando produto em y e z: a derivada de y·z é z + y·(∂z/∂y). Então
ddy(x,y,z)=xl(z+y,zyr)=xz+x y,zy

Passo 3

No lado direito derivamos cos(x+y+z): a derivada de cos(u) é -sin(u)·u’, com u = x+y+z e u’ = 1 + z_y. Então
ddyl(cos(x+y+z)r)=-sin(x+y+z)l(1+zyr)

Passo 4

Igualando as duas derivadas:
xz+x y,zy=-sin(x+y+z)l(1+zyr)

Passo 5

Reorganizando para isolar z_y, somamos sin(x+y+z),zy ao lado esquerdo e passamos xz para o direito:
x y,zy+sin(x+y+z),zy=-sin(x+y+z)-xz

Passo 6

Fatorando z_y no lado esquerdo:
zyl(xy+sin(x+y+z)r)=-l(xz+sin(x+y+z)r)

Passo 7

Logo,
zy=-xz+sin(x+y+z)xy+sin(x+y+z)

Resposta

-\frac{xz+\sin(x+y+z)}{xy+\sin(x+y+z)}

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