7*. Seja
uma partição de um intervalo
. Um pontilhamento de
é uma escolha de pontos
para cada
. Uma partição pontilhada é um par
, onde
é um pontilhamento de
. Se
é uma função limitada, definimos a soma de Riemann de
com relação a uma partição pontilhada
como
(i) Mostre que
onde
S e
barS denotam as somas inferior e superior de
f com relação à partição
P, respectivamente.
(ii) A malha de uma partição
P é definida por
|P|:=max De<a ti mid i=1, ldots, n
onde
De<a ti:=ti-ti-1 para cada
i=1, ldots, n. Dizemos que um número real
I é o limite da soma de Riemann
S(f, Pxi) quando a malha
|P| tende a zero se, para cada
varepsilon>0, existe um
de<a>0 tal que
para qualquer partição pontilhada
Pxi tal que
|P|<de<a. Mostre que tal limite existe se e somente se
f é integrável. Neste caso,
Ou seja, podemos definir a integral alternativamente como o limite de somas de Riemann no sentido descrito acima, o que fornece uma definição alternativa à vista em aula para a integral.