Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral(raiz[4]x+1x^3 / 2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integrall(raiz[4]x+1x^3/2r),dx
que é uma soma de potências de x. Para resolver isso, usamos a regra geral de integração de potências:
integral x^a,dx = x^a+1a+1+C, aneq -1

Passo 2

Primeiro reescrevemos as potências de x de forma explícita e separamos a integral em duas:
raiz[4]x = x^1/4, 1x^3/2 = x^-3/2,
então
integrall(raiz[4]x+1x^3/2r),dx = integral x^1/4,dx + integral x^-3/2,dx

Passo 3

Aplicando a regra da potência a cada termo:
integral x^1/4,dx = x^1/4+11/4+1 = x^5/45/4 = 45,x^5/4,
integral x^-3/2,dx = x^-3/2+1-3/2+1 = x^-1/2-1/2 = -2,x^-1/2
Somando os resultados obtemos
integrall(raiz[4]x+1x^3/2r),dx = 45,x^5/4 ;-;2,x^-1/2 + C

Passo 4

Para verificar, diferenciamos
F(x) = 45,x^5/4 - 2,x^-1/2
Usando ddxx^n=n,x^n-1:
F'(x) = 45cdot54,x^1/4 ;-;2cdotl(-tfrac12r),x^-3/2 = x^1/4 + x^-3/2,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

integrall(raiz[4]x+1x^3/2r),dx = 45,x^5/4 ;-;2,x^-1/2 + C

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