Determine a primitiva para cada função. Verifique suas respostas derivando.
f(x)=sec ^2(pi x) tan (pi x)

Passo 1

O enunciado pede uma primitiva de
f(x)=sec^2(pi x),tan(pi x)
ou seja, queremos F(x) tal que F'(x)=f(x). Para isso vamos usar integração por substituição (regra da cadeia) e lembrar que ddxtan(u)=u'sec^2(u).

Passo 2

Fazemos a substituição
u = tan(pi x)
Então
dudx = pisec^2(pi x) Longrightarrow sec^2(pi x),dx = dupi
Assim a integral fica
integral sec^2(pi x),tan(pi x),dx = integral u;dupi = 1piintegral u,du

Passo 3

Agora integramos em u:
1piintegral u,du = 1picdotu^22 + C = u^22pi + C

Passo 4

Voltando à variável x, como u=tan(pi x), obtemos
F(x) = tan^2(pi x)2pi + C

Passo 5

Verificação:
F'(x) = ddx!gl(tan^2(pi x)2pigr) = 12picdot 2,tan(pi x),sec^2(pi x)cdotpi = tan(pi x),sec^2(pi x) = f(x),
confirmando que F'(x)=f(x).

Resposta

F(x)=tan^2(pi x)2pi+C

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