Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral(3raiz1-x^2+2x^1 / 3) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integrall(3raiz1-x^2+2x^1/3r),dx
Isso envolve dois termos: um que usa a derivada de arcsin(x) e outro que usa a regra do poder para x^m. Depois vamos verificar a resposta diferenciando.

Passo 2

Calcular
integral 3raiz1-x^2,dx
Como ddx[arcsin(x)]=1raiz1-x^2, temos
integral 3raiz1-x^2,dx =3integral 1raiz1-x^2,dx =3,arcsin(x)

Passo 3

Calcular
integral 2x^1/3,dx =2integral x^-1/3,dx
Pela regra do poder, integral x^n,dx=x^n+1n+1 para nneq -1. Aqui n=-tfrac13, então
2integral x^-1/3,dx =2cdotx^(-1/3)+1(-1/3)+1 =2cdotx^2/32/3 =2cdot32,x^2/3 =3,x^2/3

Passo 4

Somando os resultados dos dois termos, a integral geral é
3,arcsin(x)+3,x^2/3+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Verificação: diferenciando F(x)=3,arcsin(x)+3,x^2/3 temos
F'(x) =3cdot1raiz1-x^2 +3cdot23,x^-1/3 =3raiz1-x^2+2,x^-1/3,
que coincide com o integrando original.

Resposta

integrall(3raiz1-x^2+2x^1/3r),dx =3,arcsin(x)+3,x^2/3+C

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