Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral(1+cos ^2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva de f(x)=1+cos^2x e depois verificar a resposta diferenciando. Vamos usar a identidade trigonométrica de redução de potência para cos^2x.

Passo 2

Aplicando a identidade
cos^2x = 1+cos2x2,
temos
integrall(1+cos^2xr),dx = integral1,dx + integral1+cos2x2,dx

Passo 3

Distribuindo e integrando termo a termo:
integral1,dx + 12integral1,dx + 12integralcos2x,dx = x + 12x + 12cdotsin2x2 + C = 32x + sin2x4 + C

Passo 4

Verificando por diferenciação:
ddxl(tfrac32xr)=tfrac32, ddxl(tfracsin2x4r) =tfrac14cdot2cos2x=tfraccos2x2,
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F'(x)=tfrac32+tfraccos2x2 =1+1+cos2x2 =1+cos^2x,
confirmação feita.

Resposta

integrall(1+cos^2xr),dx = 32x + sin2x4 + C

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