Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral sin x cdot(cos x+csc x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral sin x ,(cos x + csc x),dx
usando técnicas de integração imediata e subsequente verificação por diferenciação. Vamos precisar distribuir o produto e usar substituição simples.

Passo 2

Distribuindo dentro da integral, escrevemos
integral sin x,cos x,dx ;+;integral sin x;csc x,dx

Passo 3

Para a primeira parte, faça a substituição u=sin x, então du=cos x,dx. Assim,
integral sin x,cos x,dx = integral u,du = 12u^2 + C1 = 12sin^2 x + C1

Passo 4

Para a segunda parte observe que sin xcdotcsc x =1, logo
integral sin x,csc x,dx = integral 1,dx = x + C2

Passo 5

Somando as duas partes e juntando as constantes num único C, obtemos
integral sin x,(cos x+csc x),dx = 12sin^2 x + x + C
Para verificar, diferenciamos:
ddxl(tfrac12sin^2 x + xr) = sin xcos x + 1 = sin xcos x + sin x,csc x,
que é exatamente o integrando.

Resposta

integral sin x,(cos x+csc x),dx = 12sin^2 x + x + C

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