Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral sec xsec x-cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral sec xsec x - cos x,dx
e depois verificar a resposta por diferenciação. Vamos usar manipulação algébrica para simplificar o integrando e reconhecer uma primitiva conhecida.

Passo 2

Reescrevemos o denominador usando identidades trigonométricas:
sec x - cos x = 1cos x - cos x = 1 - cos^2 xcos x = sin^2 xcos x

Passo 3

Substituindo na integral, temos
sec xsec x - cos x = sec x ,cos xsin^2 x = 1sin^2 x = csc^2 x
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integral sec xsec x - cos x,dx = integral csc^2 x,dx

Passo 4

Sabemos que
integral csc^2 x,dx = -cot x + C

Passo 5

Para verificar, diferenciamos -cot x:
ddxl(-cot xr) = -l(-csc^2 xr) = csc^2 x,
que coincide com o integrando depois da simplificação.

Resposta

integral sec xsec x - cos x,dx = -cot x + C

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