Mostre que o teorema de valor intermediario garante que a equacao:
x^3-4 x-x+1=0
tenha raiz entre 0 e 1 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a equação
x^3 - 4x - x + 1 = 0
possui solução em (0,1). O conteúdo usado será o Teorema do Valor Intermediário (ou Teorema de Bolzano), que exige uma função contínua e mudança de sinal nos extremos do intervalo.

Passo 2

Definimos a função
f(x) = x^3 - 4x - x + 1 = x^3 -5x + 1
Como f é polinomial, ela é contínua em todo R, em particular em [0,1].

Passo 3

Calculamos os valores nos extremos do intervalo:
f(0) = 0^3 -5cdot0 +1 = 1,
f(1) = 1^3 -5cdot1 +1 = -3
Portanto f(0)=1>0 e f(1)=-3<0, logo há mudança de sinal.

Passo 4

Pelo Teorema do Valor Intermediário, sendo f contínua em [0,1] e f(0)cdot f(1)<0, existe cin(0,1) tal que
f(c)=0

Resposta

Pelo Teorema do Valor Intermediário, a equação tem pelo menos uma raiz em (0,1).

Exercícios relacionados