Se e for continua em , podemos concluir que e continua em ? se sua resposta for sim, prove-a. Se sua resposta for nao, que condicao ou condicoes adicionais assegurariam a continuidade em ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão tá perguntando sobre uma função que é definida por partes. Temos uma função f(x) que usa g(x) no intervalo [a, b) e h(x) no intervalo [b, c]. Sabemos que g é contínua em [a, b) e h é contínua em [b, c]. A pergunta é: será que f é contínua em todo o intervalo [a, c]? Se sim, a gente precisa provar isso. Se não, quais condições a mais a gente precisa para garantir a continuidade?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é continuidade. Uma função é contínua num ponto se ela não tem “saltos”, “buracos” ou “descontinuidades” ali. Mais tecnicamente, f é contínua em x = b se o limite de f(x) quando x se aproxima de b pela esquerda é igual ao limite quando x se aproxima de b pela direita, e ambos são iguais a f(b) .
Passo 3
Aqui, a gente já sabe que g(x) é contínua em [a, b) e h(x) em [b, c]. Isso significa que dentro de cada intervalo, sem considerar o ponto b , a função f(x) não tem problemas de continuidade. O grande ponto de atenção é justamente x = b , onde a gente troca de g para h .
Passo 4
Então, para garantir que f(x) seja contínua em todo o intervalo [a, c], precisamos verificar o que acontece exatamente em x = b . Precisamos que o valor que g(x) está se aproximando quando x chega em b pela esquerda seja igual ao valor que h(x) tem em x = b .
Matematicamente, isso quer dizer que:
limx to b^- g(x) = h(b)
Esse limite pela esquerda de g(x) tem que ser igual ao valor de h(x) em b .
Passo 5
Se essa condição limx to b^- g(x) = h(b) for verdadeira, então f(x) não vai ter nenhum salto ou descontinuidade em x = b , e por consequência, será contínua em todo o intervalo [a, c].
Resposta
Não, a função f não é necessariamente contínua em [a, c] apenas com as informações dadas. Para que f seja contínua em [a, c], é preciso que o limite de g(x) quando x se aproxima de b pela esquerda seja igual a h(b) . Ou seja, a condição adicional necessária é: