Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral 11+e^-x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
integral 11+e^-x,dx
e depois verificar a resposta por diferenciação. O conteúdo é reconhecimento de uma derivada de log e uso de substituição simples.

Passo 2

Primeiro, note que
11+e^-x = e^xe^xl(1+e^-xr) = e^x1+e^x
Logo a integral vira
integral e^x1+e^x,dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = 1+e^x, du = e^x,dx
Assim
integral e^x1+e^x,dx = integral 1u,du = lnlvert urvert + C = lnl(1+e^xr)+C

Passo 4

Para verificar, diferenciamos
ddxlnl(1+e^xr) = 11+e^xcdot e^x = e^x1+e^x = 11+e^-x,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

integral 11+e^-x,dx = lnl(1+e^xr) + C

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