Calcule as integrais. Verifique suas respostas diferenciando.
integral(t^2+raiztt^3) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral l(t^2 + raiztt^3r),dt,
que envolve soma de potências de t. Vamos usar a regra de potências
integral t^n,dt = t^n+1n+1 + C(nneq -1)
e, no caso n=-1, usar integral t^-1dt = ln|t|+C.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando escrevendo cada termo como potência:
t^2t^3 = t^-1, raiztt^3 = t^1/2t^3 = t^1/2 - 3 = t^-5/2
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t^2 + raiztt^3 = t^-1 + t^-5/2

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
  1. integral t^-1,dt = ln|t| + C1
  2. integral t^-5/2,dt = t^-5/2 + 1-5/2 + 1 + C2 = t^-3/2-3/2 + C2 = -23,t^-3/2 + C2
Somando e agrupando constantes num único C, obtemos a primitiva.

Passo 4

A antiderivada geral é
F(t) = ln|t| ;-;23,t^-3/2 ;+; C

Passo 5

Verificação diferenciando F(t):
F'(t) = ddtl(ln|t|r) -23,ddtl(t^-3/2r) = 1t -23l(-tfrac32t^-5/2r) = 1t + t^-5/2,
que é exatamente o integrando original.

Resposta

integral l(t^2 + raiztt^3r),dt = ln|t| ;-;23,t^-3/2 + C

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