Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty (-1)^n 3^nn 2^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que você me enviou. A gente precisa determinar se a série sumn=1^infty (-1)^n 3^nn 2^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar um teste de convergência apropriado que encontramos no capítulo. Vamos precisar entender sobre séries alternadas e aplicar o teste da divergência para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série é:
sumn=1^infty (-1)^n 3^nn 2^n
Podemos reescrever 3^n/2^n como (3/2)^n. Então, a série fica:
sumn=1^infty (-1)^n (32)^nn

Passo 3

Agora, vamos identificar o tipo de série que temos. Essa é uma série alternada por causa do (-1)^n, que alterna os sinais dos termos. Para analisar a convergência de séries alternadas, geralmente usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que a série sum (-1)^n bn converge se:
  1. bn é decrescente: bn+1 <= bn para todo n grande.
  2. limn to infty bn = 0.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.

Passo 4

Primeiro, identificamos bn:
bn = (32)^nn
Vamos verificar o limite de bn quando n tende ao infinito:
limn to infty (32)^nn
Sabemos que (32)^n cresce exponencialmente, enquanto n cresce linearmente. Isso significa que o numerador cresce muito mais rápido que o denominador. Portanto,
limn to infty (32)^nn = infty

Passo 5

Segundo o Teste da Série Alternada, para a série convergir, o limite de bn deve ser zero. Mas aqui vimos que o limite é infinito, ou seja, não é zero. Isso já nos indica que a série não converge.

Passo 6

Além disso, para reforçar, podemos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste afirma que se limn to infty an neq 0, então a série sum an diverge. No nosso caso,
an = (-1)^n (32)^nn
E vimos que o limite de |an| tende a infinito, então claramente limn to infty an não é zero.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^n 3^nn 2^n diverge. Utilizamos o Teste da Divergência para chegar a essa conclusão.

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