Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que você me enviou. A gente precisa determinar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar um teste de convergência apropriado que encontramos no capítulo. Vamos precisar entender sobre séries alternadas e aplicar o teste da divergência para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar a análise. A série é:
Podemos reescrever
como
. Então, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar o tipo de série que temos. Essa é uma série alternada por causa do
, que alterna os sinais dos termos. Para analisar a convergência de séries alternadas, geralmente usamos o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste diz que a série
converge se:
-
é decrescente: para todo grande. -
.
Vamos verificar essas condições para a nossa série.
Passo 4
Primeiro, identificamos
:
Vamos verificar o limite de
quando
tende ao infinito:
Sabemos que
cresce exponencialmente, enquanto
cresce linearmente. Isso significa que o numerador cresce muito mais rápido que o denominador. Portanto,
Passo 5
Segundo o Teste da Série Alternada, para a série convergir, o limite de
deve ser zero. Mas aqui vimos que o limite é infinito, ou seja, não é zero. Isso já nos indica que a série não converge.
Passo 6
Além disso, para reforçar, podemos aplicar o Teste da Divergência. Esse teste afirma que se
, então a série
diverge. No nosso caso,
E vimos que o limite de
tende a infinito, então claramente
não é zero.
Resposta
A série
diverge. Utilizamos o Teste da Divergência para chegar a essa conclusão.