Determine a convergência ou divergência da série dada usando um teste apropriado deste capítulo. Diga qual o teste usado.
sumn=1^infty (-1)^n 3^n-1n!

Passo 1

O enunciado nos dá a série
sumn=1^infty (-1)^n,3^,n-1n!
e pede para determinar sua convergência. Como ela envolve fatorial no denominador, faz sentido usar o Teste da Razão para verificar convergência absoluta.

Passo 2

Observamos o expoente de -1:
n,3^,n-1
Como 3^,n-1 é sempre ímpar, temos
(-1)^n,3^,n-1 = (-1)^n
Portanto a série pode ser reescrita como
sumn=1^infty (-1)^nn!

Passo 3

Para testar convergência absoluta, consideramos
sumn=1^infty l|tfrac(-1)^nn!r| = sumn=1^infty 1n!
Aplicamos o Teste da Razão a an = 1/n!.

Passo 4

Calculamos o limite da razão dos termos consecutivos:
limntoinftyan+1an = limntoinftytfrac1(n+1)!tfrac1n! = limntoinftyn!(n+1)! = limntoinfty1n+1 = 0
Como 0<1, a série sum 1/n! converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge). O teste usado foi o Teste da Razão.

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