Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de
. Vamos utilizar o método de substituição para resolver isso. Basicamente, vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, simplificando a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro do seno. Vamos definir:
Isso vai ajudar a transformar a integral em algo mais manejável.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o diferencial de
, ou seja,
. Para isso, derivamos
em relação a
:
Então, temos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na integral original:
Passo 5
Lembrando que
, podemos substituir
por
:
Agora, a integral ficou mais simples:
Passo 6
Para resolver
, vamos usar o método de integração por partes. A fórmula é:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Passo 7
Aplicando a fórmula:
Substituindo de volta na nossa integral original:
Passo 8
Agora, vamos relembrar que
e substituir de volta:
Resposta
A integral
é igual a
onde
é a constante de integração.