Calcule a integral
integral sen^( 1 / x^4)x^9 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O que a gente tem aqui é a integral de sin(1x^4)x^9 , dx. Vamos utilizar o método de substituição para resolver isso. Basicamente, vamos escolher uma parte da função para substituir por uma nova variável, simplificando a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a expressão dentro do seno. Vamos definir:
u = 1x^4
Isso vai ajudar a transformar a integral em algo mais manejável.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o diferencial de u , ou seja, du . Para isso, derivamos u em relação a x :
du = ddx(1x^4) dx = -4x^5 dx
Então, temos:
-4x^5 dx = du Rightarrow dx = -x^54 du

Passo 4

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral sin(1x^4)x^9 dx = integral sin(u)x^9 (-x^54 du) = -14 integral sin(u)x^4 du

Passo 5

Lembrando que u = 1x^4 , podemos substituir 1x^4 por u :
-14 integral sin(u) cdot u , du
Agora, a integral ficou mais simples: -14 integral u sin(u) , du

Passo 6

Para resolver integral u sin(u) , du , vamos usar o método de integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • u = u du = du
  • dv = sin(u) , du v = -cos(u)

Passo 7

Aplicando a fórmula:
integral u sin(u) , du = -u cos(u) + integral cos(u) , du = -u cos(u) + sin(u) + C
Substituindo de volta na nossa integral original:
-14 ( -u cos(u) + sin(u) ) + C = u cos(u)4 - sin(u)4 + C

Passo 8

Agora, vamos relembrar que u = 1x^4 e substituir de volta:
( 1x^4 ) cos( 1x^4 )4 - sin( 1x^4 )4 + C = cos( 1x^4 )4x^4 - sin( 1x^4 )4 + C

Resposta

A integral
integral sin(1x^4)x^9 , dx
é igual a
cos( 1x^4 )4x^4 - sin( 1x^4 )4 + C,
onde C é a constante de integração.

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