Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
integral-infty^0 x(3^-x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de x cdot 3^-x^2 de -infty até 0 . Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente envolvendo exponentiais e substituições para facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão 3^-x^2 de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Lembrando que a^-b = e^-b ln a , podemos transformar 3^-x^2 em:
3^-x^2 = e^-x^2 ln 3
Então, nossa integral fica:
integral-infty^0 x cdot e^-x^2 ln 3 , dx

Passo 3

Agora, vamos focar na parte da integral que envolve x cdot e^-a x^2 , onde a = ln 3 . Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
u = -x^2 ln 3

Passo 4

Com essa substituição, precisamos encontrar du . Derivando u em relação a x , temos:
du = -2x ln 3 , dx
Agora, vamos isolar dx :
dx = du-2x ln 3

Passo 5

Vamos substituir u e dx na integral original:
integral x cdot e^u cdot du-2x ln 3 = integral e^u-2 ln 3 , du
Note que o x no numerador e denominador cancela, simplificando para:
1-2 ln 3 integral e^u , du

Passo 6

Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição u = -x^2 ln 3 :
  • Quando x to -infty , u = -(-infty)^2 ln 3 = -infty
  • Quando x = 0 , u = -0^2 ln 3 = 0
Então, a integral fica:
1-2 ln 3 integral-infty^0 e^u , du

Passo 7

Vamos integrar e^u em relação a u :
integral e^u , du = e^u + C
Aplicando os limites:
1-2 ln 3 [ e^u ]-infty^0 = 1-2 ln 3 ( e^0 - limu to -infty e^u )
Sabemos que e^0 = 1 e limu to -infty e^u = 0 , então:
1-2 ln 3 (1 - 0) = 1-2 ln 3

Resposta

A integral converge e seu valor é:
-12 ln 3

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