Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral definida de
de
até
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de cálculo integral, especificamente envolvendo exponentiais e substituições para facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a expressão
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Lembrando que
, podemos transformar
em:
Então, nossa integral fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte da integral que envolve
, onde
. Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Vamos definir:
Passo 4
Com essa substituição, precisamos encontrar
. Derivando
em relação a
, temos:
Agora, vamos isolar
:
Passo 5
Vamos substituir
e
na integral original:
Note que o
no numerador e denominador cancela, simplificando para:
Passo 6
Agora, precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição
:
- Quando
, - Quando
,
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos integrar
em relação a
:
Aplicando os limites:
Sabemos que
e
, então:
Resposta
A integral converge e seu valor é: