Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
(32) sum k 3^k(k+1)!

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumk=1^inftyk,3^k(k+1)!
converge ou diverge. Estamos tratando de séries numéricas de termos positivos, e aqui o mais natural é usar o teste da razão (ou de d’Alembert), que nos diz que se
limktoinftyak+1ak=L<1
então a série sum ak converge absolutamente.

Passo 2

Defina
ak = k,3^k(k+1)!
Então
ak+1 = (k+1),3^,k+1(k+2)! e ak+1ak = (k+1),3^,k+1(k+2)!;g/;k,3^k(k+1)! =3;k+1k(k+2)

Passo 3

Calculemos o limite da razão:
limktoinftyak+1ak =limktoinfty3;k+1k(k+2) =limktoinfty3;1 + 1/kk+2 =0
Como 0<1, o teste da razão garante convergência absoluta da série, e portanto a série converge.

Resposta

A série converge absolutamente (teste da razão de d’Alembert, com limite da razão igual a 0<1).

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