Calcule a integral
integral1^2 (x^2+3 x+2)(3 x^2+x+4)x^2 d x

Passo 1

Vamos lá! Você precisa calcular a integral definida de (x^2 + 3x + 2)(3x^2 + x + 4)x^2 de x = 1 até x = 2. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integração de funções polinomiais. Para resolver, vamos precisar expandir os polinômios no numerador, simplificar a expressão e então integrar termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir os polinômios no numerador. Isso significa multiplicar (x^2 + 3x + 2) por (3x^2 + x + 4). Vamos fazer isso passo a passo:
(x^2 + 3x + 2)(3x^2 + x + 4) &= x^2(3x^2 + x + 4) + 3x(3x^2 + x + 4) + 2(3x^2 + x + 4) &= 3x^4 + x^3 + 4x^2 + 9x^3 + 3x^2 + 12x + 6x^2 + 2x + 8

Passo 3

Agora, vamos combinar os termos semelhantes:
3x^4 + (x^3 + 9x^3) + (4x^2 + 3x^2 + 6x^2) + (12x + 2x) + 8 = 3x^4 + 10x^3 + 13x^2 + 14x + 8

Passo 4

A expressão da integral agora fica:
integral1^2 3x^4 + 10x^3 + 13x^2 + 14x + 8x^2 , dx
Vamos simplificar dividindo cada termo do numerador por x^2:
3x^4x^2 + 10x^3x^2 + 13x^2x^2 + 14xx^2 + 8x^2 = 3x^2 + 10x + 13 + 14x + 8x^2

Passo 5

Agora, a integral fica mais simples:
integral1^2 (3x^2 + 10x + 13 + 14x + 8x^2) , dx
Vamos integrar cada termo separadamente. Lembre-se que:
  • A integral de x^n é x^n+1n+1 para n neq -1.
  • A integral de 1x é ln|x|.
  • A integral de 1x^2 é -1x.

Passo 6

Integrando termo a termo:
integral 3x^2 , dx &= 3 cdot x^33 = x^3 integral 10x , dx &= 10 cdot x^22 = 5x^2 integral 13 , dx &= 13x integral 14x , dx &= 14 ln|x| integral 8x^2 , dx &= 8 cdot (-1x) = -8x

Passo 7

Juntando tudo, a antiderivada é:
x^3 + 5x^2 + 13x + 14 ln|x| - 8x + C
Como estamos calculando uma integral definida de 1 a 2, vamos avaliar essa expressão nos limites e subtrair.

Passo 8

Avaliaremos em x = 2 e x = 1:
Para x = 2:
2^3 + 5(2)^2 + 13(2) + 14 ln(2) - 82 = 8 + 20 + 26 + 14ln(2) - 4 = 50 + 14ln(2)
Para x = 1:
1^3 + 5(1)^2 + 13(1) + 14 ln(1) - 81 = 1 + 5 + 13 + 14 cdot 0 - 8 = 11

Resposta

Subtraindo os valores:
(50 + 14ln(2)) - 11 = 39 + 14ln(2)
Portanto, o valor da integral é 39 + 14ln(2).

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