Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral de uma fração onde o numerador é um polinômio de segundo grau e o denominador é um polinômio de terceiro grau:
Vamos precisar usar conhecimentos de frações parciais e fatoração de polinômios para simplificar essa expressão e facilitar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o denominador da fração para ver se conseguimos fatorá-lo. O denominador é:
Podemos tentar fatorar por agrupamento. Agrupando os termos da seguinte forma:
Agora, percebemos que temos um fator comum, que é
. Então, podemos fatorar:
Então, o denominador fatorado é
.
Passo 3
Agora, vamos dividir a fração original usando a técnica de frações parciais. Queremos expressar:
Onde
,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum
:
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Simplificando:
Agora, juntamos os termos semelhantes:
Passo 5
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação 1:
Agora, substituímos
na equação 3:
Agora temos:
Somando essas duas equações:
Agora, substituindo
na equação 2:
E substituindo
na equação para
:
Passo 7
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever a fração original em termos de frações parciais:
Passo 8
Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral fica:
Vamos resolver cada uma dessas integrais.
Passo 9
Primeira integral:
Sabemos que a integral de
é
, então:
Passo 10
Segunda integral:
Podemos separar essa fração:
A primeira parte:
Aqui, fazemos uma substituição: seja
, então
.
Então, a integral se torna:
A segunda parte:
Passo 11
Agora, juntando tudo:
Primeira integral:
Segunda integral:
Então, a solução completa é:
Resposta
A integral avaliada é: