integral 4 x^2+3 x+3x^3+x^2+x+1 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O problema que temos é calcular a integral de uma fração onde o numerador é um polinômio de segundo grau e o denominador é um polinômio de terceiro grau:
integral 4 x^2+3 x+3x^3+x^2+x+1 , dx
Vamos precisar usar conhecimentos de frações parciais e fatoração de polinômios para simplificar essa expressão e facilitar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o denominador da fração para ver se conseguimos fatorá-lo. O denominador é:
x^3 + x^2 + x + 1
Podemos tentar fatorar por agrupamento. Agrupando os termos da seguinte forma:
x^3 + x^2 + x + 1 = x^2(x + 1) + 1(x + 1)
Agora, percebemos que temos um fator comum, que é (x + 1). Então, podemos fatorar:
x^3 + x^2 + x + 1 = (x^2 + 1)(x + 1)
Então, o denominador fatorado é (x + 1)(x^2 + 1).

Passo 3

Agora, vamos dividir a fração original usando a técnica de frações parciais. Queremos expressar:
4 x^2+3 x+3(x +1)(x^2 +1) = Ax+1 + Bx + Cx^2 +1
Onde A, B e C são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar os valores de A, B e C, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo denominador comum (x +1)(x^2 +1):
4x^2 + 3x + 3 = A(x^2 +1) + (Bx + C)(x +1)
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
4x^2 + 3x + 3 = A x^2 + A + Bx(x) + Bx(1) + C(x) + C(1)
Simplificando:
4x^2 + 3x + 3 = A x^2 + A + Bx^2 + Bx + Cx + C
Agora, juntamos os termos semelhantes:
4x^2 + 3x + 3 = (A + B)x^2 + (B + C)x + (A + C)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
Para x^2:
A + B = 4
Para x:
B + C = 3
Para o termo constante:
A + C = 3
Agora, temos um sistema de três equações com três incógnitas:
  1. A + B = 4
  2. B + C = 3
  3. A + C = 3

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo.
Primeiro, da equação 1:
A = 4 - B
Agora, substituímos A na equação 3:
(4 - B) + C = 3 4 - B + C = 3 -C + C = 3 - 4 -B + C = -1
Agora temos:
B + C = 3 -B + C = -1
Somando essas duas equações:
(B + C) + (-B + C) = 3 + (-1) 2C = 2 C = 1
Agora, substituindo C = 1 na equação 2:
B + 1 = 3 B = 2
E substituindo B = 2 na equação para A:
A = 4 - 2 A = 2

Passo 7

Agora que encontramos A = 2, B = 2 e C = 1, podemos reescrever a fração original em termos de frações parciais:
4x^2 + 3x + 3(x +1)(x^2 +1) = 2x +1 + 2x +1x^2 +1

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. A integral fica:
integral 2x +1 , dx + integral 2x +1x^2 +1 , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais.

Passo 9

Primeira integral:
integral 2x +1 , dx
Sabemos que a integral de 1x é ln|x|, então:
integral 2x +1 , dx = 2 ln|x +1| + C

Passo 10

Segunda integral:
integral 2x +1x^2 +1 , dx
Podemos separar essa fração:
integral 2xx^2 +1 , dx + integral 1x^2 +1 , dx
A primeira parte:
integral 2xx^2 +1 , dx
Aqui, fazemos uma substituição: seja u = x^2 +1, então du = 2x , dx.
Então, a integral se torna:
integral 1u , du = ln|u| + C = ln(x^2 +1) + C
A segunda parte:
integral 1x^2 +1 , dx = arctan(x) + C

Passo 11

Agora, juntando tudo:
Primeira integral:
2 ln|x +1|
Segunda integral:
ln(x^2 +1) + arctan(x)
Então, a solução completa é:
2 ln|x +1| + ln(x^2 +1) + arctan(x) + C

Resposta

A integral avaliada é:
2 ln|x +1| + ln(x^2 +1) + arctan(x) + C

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