Determine a convergência ou divergência das séries e explicite o teste utilizado:
68) sum k^3 2^k+32^2 k

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
sumk=1^infty k^3,2^k+32^2k
converge ou diverge, e explicitar o teste utilizado. O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste mais direto para séries com fator exponencial é o teste da razão.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o termo geral. Note que
k^3,2^k+32^2k = k^3,2^k,2^32^2k = 8,k^3,2^k2^2k = 8,k^3,2^-k
Logo o termo geral fica
ak = 8,k^32^k

Passo 3

No teste da razão calculamos
L = limktoinftyl|ak+1akr|
Aqui
ak+1 = 8,(k+1)^32^,k+1 e ak = 8,k^32^k,
então
ak+1ak = 8,(k+1)^3/2^,k+18,k^3/2^k = (k+1)^3k^3;2^k2^,k+1 = (k+1)^3k^3;12

Passo 4

Agora avaliamos o limite
L = limktoinfty(k+1)^3k^3;12 = l(limktoinfty(k+1)^3k^3r)12 = 1cdot12 = 12
Como L = tfrac12 < 1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta) pelo teste da razão, pois o limite da razão entre termos sucessivos é tfrac12<1.

Exercícios relacionados