Calcule a integral
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 z^2 d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 z^2,dz,dx,dy
O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, pois os limites em x,y descrevem um quarto de disco de raio 2 e o limite em z depende de r=raizx^2+y^2.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas fazemos
x = rcostheta, y = rsintheta, z=z,
com Jacobiano r. Os limites tornam-se
0<=theta<= pi2, 0<= r<= 2, r<= z<= raiz8-r^2
A integral fica
integral0^pi/2!integral0^2!integralr^raiz8-r^2 z^2,r,dz,dr,dtheta

Passo 3

Integramos primeiro em z:
integralr^raiz8-r^2 z^2,dz =gl[z^33gr]z=r^z=raiz8-r^2 =(8-r^2)^3/2-r^33
Logo a integral torna-se
integral0^pi/2!integral0^2rl((8-r^2)^3/2-r^3r)3,dr,dtheta

Passo 4

Como o integrando não depende de theta, temos
integral0^pi/2dtheta = pi2,
e a integral vira
pi2cdot13integral0^2rl((8-r^2)^3/2-r^3r),dr =pi6integral0^2l[r(8-r^2)^3/2-r^4r],dr

Passo 5

Dividimos em duas integrais:
A=integral0^2r(8-r^2)^3/2,dr, B=integral0^2r^4,dr
Para A, use u=8-r^2, du=-2r,dr:
A =12integralu=8^u=4u^3/2,du =15l[8^5/2-4^5/2r] =128raiz2-325
E
B=integral0^2r^4,dr =2^55 =325
Logo
integral0^2l[r(8-r^2)^3/2-r^4r],dr =128raiz2-325-325 =128raiz2-645 =64,(2raiz2-1)5

Passo 6

Substituindo de volta,
I =pi6cdot64,(2raiz2-1)5 =64pi,(2raiz2-1)30 =32pi,(2raiz2-1)15

Resposta

boxed32pi,(2raiz2-1)15

Exercícios relacionados