Se f(x, y)=x y^2 /(x^3+y^3), será que lim (x, y) 0,0 f(x, y) existe?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=x,y^2x^3+y^3
e pergunta se existe
lim(x,y)to(0,0)f(x,y)
O conteúdo aqui é limites de funções de duas variáveis e a técnica de verificar se esse limite é independente da trajetória de aproximação ao ponto (0,0).

Passo 2

Uma forma clássica de investigar a existência é analisar trajetórias retas do tipo y=kx. Substituindo y=kx em f, temos
f(x,kx) =x,(kx)^2x^3+(kx)^3 =k^2x^3x^3(1+k^3) =k^21+k^3

Passo 3

O valor de
lim(x,y)to(0,0),,,y=kxf(x,y)
fica igual a tfrack^21+k^3, que depende de k. Por exemplo, para k=1 obtemos
1^21+1^3=12,
enquanto para k=0 (ou seja, y=0) obtemos
0^21+0^3=0
Como os resultados são diferentes, o limite varia conforme a reta de aproximação.

Passo 4

Como o valor do limite depende da trajetória escolhida (ou seja, de k), concluímos que não há um único valor para
lim(x,y)to(0,0)f(x,y).

Resposta

O limite não existe.

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