Teste as convergências das seguintes séries:
sumn=1^infty(-1)^n-1 e^1 / nn

Passo 1

O enunciado nos dá a série alternante
sumn=1^infty(-1)^n-1e^1/nn
O conteúdo aqui é o critério de Leibniz (teste de série alternante) para convergência condicional e o teste de comparação para convergência absoluta.

Passo 2

Definimos o termo positivo
bn = e^1/nn
Primeiro, verificamos o limite de bn. Como limntoinftye^1/n=e^0=1, temos
limntoinftybn =limntoinftye^1/nn =1infty=0

Passo 3

Agora mostramos que bn é decrescente para n>=1. Considere a função contínua
f(x)=e^1/xx, x>=1
Calculamos a derivada:
f'(x) = ddxl(e^1/xx^-1r) = e^1/xl(-1x^2r)1x + e^1/xl(-1x^2r) = -e^1/xl(1x^3+1x^2r)<0
Como f'(x)<0 em [1,infty), segue bn+1=f(n+1)<f(n)=bn. Logo, bn é decrescente.

Passo 4

Pelo critério de Leibniz, se bn>=0, bnto0 e bn é decrescente, então
sumn=1^infty(-1)^n-1bn
converge. Portanto a série dada converge.

Passo 5

Para testar convergência absoluta, olhamos
sumn=1^inftyl|(-1)^n-1tfrace^1/nnr| =sumn=1^inftye^1/nn
Como e^1/n>1 para todo n, tem e^1/nn>1n e sabemos que sum1/n diverge. Pelo teste de comparação,
sumn=1^inftye^1/nn
também diverge. Logo a série não converge absolutamente.

Resposta

A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) e diverge em valor absoluto.

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