Teste as convergências das seguintes séries:
Passo 1
O enunciado nos dá a série alternante
O conteúdo aqui é o critério de Leibniz (teste de série alternante) para convergência condicional e o teste de comparação para convergência absoluta.
Passo 2
Definimos o termo positivo
Primeiro, verificamos o limite de
. Como
, temos
Passo 3
Agora mostramos que
é decrescente para
. Considere a função contínua
Calculamos a derivada:
Como
em
, segue
. Logo,
é decrescente.
Passo 4
Pelo critério de Leibniz, se
,
e
é decrescente, então
converge. Portanto a série dada converge.
Passo 5
Para testar convergência absoluta, olhamos
Como
e^1/n>1 para todo
n , tem
e^1/nn>1n e sabemos que
sum1/n diverge. Pelo teste de comparação,
também diverge. Logo a série não converge absolutamente.
Resposta
A série converge condicionalmente (pelo critério de Leibniz) e diverge em valor absoluto.