Classifique as séries a seguir como convergentes ou divergentes (prove). Caso sejam convergentes, calcule o limite.
sumn=1^infty ln (1+1n)

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série
sumn=1^infty lnl(1+1nr)
como convergente ou divergente e, em caso de convergência, calcular o seu valor. O conteúdo aqui é reconhecer que a soma de logaritmos pode telescopar, usando
lnl(1+1nr) =lnn+1n =ln(n+1)-ln(n)

Passo 2

Definimos a soma parcial
SN = sumn=1^N lnl(1+1nr)
Substituindo o termo geral pela forma telescópica, obtemos
SN = sumn=1^N l[ln(n+1)-ln(n)r]

Passo 3

Ao expandir a soma telescópica, quase todos os termos se cancelam:
SN = l[ln(2)-ln(1)r] +l[ln(3)-ln(2)r] +cdots +l[ln(N+1)-ln(N)r]
Ficam apenas os extremos, ou seja,
SN = ln(N+1) - ln(1) = ln(N+1)

Passo 4

Para decidir convergência, analisamos o limite de SN quando Ntoinfty:
limNtoinfty SN =limNtoinfty ln(N+1) =+infty
Como a soma parcial cresce sem limite finito, a série diverge.

Resposta

A série diverge (não converge a um valor finito).

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