Obtenha, por meio de integral tripla, o volume do sólido limitado pela superfície y=x^2 e os planos y+z=4 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície ,y=x^2, e pelos planos ,y+z=4, e ,z=0. O método será usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano xy para determinar os limites de x e y, e em seguida integrar em z.

Passo 2

Para cada ponto (x,y) na projeção no plano xy, temos z variando de baixo para cima entre o plano ,z=0 e o plano ,z=4-y. Além disso, a projeção é limitada por y>= x^2 (pois o sólido está “acima” de y=x^2) e pela interseção máxima em y+0=4, ou seja y<=4. Como y>= x^2 e x^2<=4, obtemos
-2 ;<=; x ;<=; 2, x^2;<=; y ;<=; 4

Passo 3

O volume V é dado por
V = integralx=-2^2 integraly=x^2^4 integralz=0^4-y dz,dy,dx
Integramos primeiro em z:
integralz=0^4-y dz = (4 - y)
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V = integralx=-2^2 integraly=x^2^4 (4 - y),dy,dx

Passo 4

Agora calculamos a integral em y:
integraly=x^2^4 (4 - y),dy = l[4y - tfracy^22r]y=x^2^4 = l(16 - 8r) ;-;l(4x^2 - tfracx^42r) = 8 ;-;4x^2 ;+;tfracx^42
Assim
V = integralx=-2^2 l(8 - 4x^2 + tfracx^42r),dx

Passo 5

Como o integrando é função par, podemos escrever
V = 2integral0^2 l(8 - 4x^2 + tfracx^42r),dx
Calculando,
integral0^28,dx = 16, integral0^24x^2,dx = tfrac323, integral0^2tfracx^42,dx = tfrac165,
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V = 2l(16 - tfrac323 + tfrac165r) = 2cdot tfrac12815 = tfrac25615

Resposta

O volume do sólido é tfrac25615.

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