Obtenha, por meio de integral tripla, o volume do sólido limitado pela superfície
e os planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície
e pelos planos
e
. O método será usar uma integral tripla em coordenadas cartesianas, projetando o sólido no plano
para determinar os limites de
e
, e em seguida integrar em
.
Passo 2
Para cada ponto
na projeção no plano
, temos
variando de baixo para cima entre o plano
e o plano
. Além disso, a projeção é limitada por
(pois o sólido está “acima” de
) e pela interseção máxima em
, ou seja
. Como
e
, obtemos
Passo 3
O volume
é dado por
Integramos primeiro em
:
Logo
Passo 4
Agora calculamos a integral em
:
Assim
Passo 5
Como o integrando é função par, podemos escrever
Calculando,
logo
Resposta
O volume do sólido é
.