Calcule a integral
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integral0^1-x^2-y^2 x^2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede calcular a integral tripla
integral0^1!integral0^raiz1-x^2!integral0^1-x^2-y^2 x^2,dz,dy,dx
O conteúdo aqui é integração iterada em coordenadas cartesianas. A ideia é integrar primeiro em z, depois em y e por fim em x.

Passo 2

Integramos em z, tratando x e y como constantes:
integral0^1-x^2-y^2 x^2,dz = x^2l[zr]0^1-x^2-y^2 = x^2,(1 - x^2 - y^2)
Então o triplo integral vira
integral0^1!integral0^raiz1-x^2 x^2,(1 - x^2 - y^2),dy,dx

Passo 3

Agora integramos em y:
integral0^raiz1-x^2 x^2,(1 - x^2 - y^2),dy = x^2(1 - x^2)integral0^raiz1-x^2!dy - x^2integral0^raiz1-x^2!y^2,dy
Calcule os dois termos:
integral0^raiz1-x^2!dy = raiz1-x^2, integral0^raiz1-x^2!y^2,dy = (1-x^2)^3/23
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integral0^raiz1-x^2!x^2(1 - x^2 - y^2),dy = x^2raiz1-x^2l((1 - x^2) - tfrac13(1 - x^2)r) = tfrac23,x^2(1 - x^2)raiz1-x^2

Passo 4

Restou a integral em x:
23integral0^1 x^2(1 - x^2)^3/2,dx
Para resolver usamos a substituição t = x^2, de modo que dt = 2x,dx. Isso transforma
integral0^1 x^2(1 - x^2)^3/2,dx = tfrac12integral0^1 t^1/2(1 - t)^3/2,dt = tfrac12,Bl(tfrac32,tfrac52r)
Como
Bl(tfrac32,tfrac52r) = Gamma(tfrac32),Gamma(tfrac52)Gamma(4) = tfrac12raizpi;cdot;tfrac34raizpi6 = pi16,
segue
integral0^1 x^2(1 - x^2)^3/2,dx = pi32

Passo 5

Bastou multiplicar pelo fator tfrac23:
23,cdotpi32 = pi48

Resposta

pi48

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