Faça uma mudança de variáveis conveniente para calcular a integral
integral duplaR(x^2-y^2) d A
onde R é a região delimitada pelas retas y=-x, y=1-x, y=x e y=x+2.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla de
integral duplaR(x^2-y^2),dA
sendo R delimitada pelas retas y=−x, y=x, y=1−x e y=x+2. O conteúdo envolve mudança de variáveis para simplificar a forma do integrando e da região.

Passo 2

Observando que x2−y2 se fatoriza como (x+y)(x−y), é natural definir as variáveis
u = x + y, v = x - y
porque assim o integrando fica simplesmente uv.

Passo 3

Agora vamos ver como cada reta em (x,y) vira uma reta em (u,v):
  • y = -x ⇒ u = x+y = 0
  • y = x ⇒ v = x−y = 0
  • y = 1−x ⇒ u = x+y = 1
  • y = x+2 ⇒ v = x−y = -2
    Logo, na região em (u,v) temos 0 ≤ u ≤ 1 e -2 ≤ v ≤ 0, um retângulo bem simples.

Passo 4

Para a mudança de variáveis precisamos do jacobiano. Invertendo:
x = u+v2, y = u-v2
O determinante da transformação é
J = det∂x/∂u & ∂x/∂v ∂y/∂u & ∂y/∂v = det1/2 & 1/2 1/2 & -1/2 = -tfrac14 - tfrac14 = -tfrac12
Tomamos |J| = 1/2, então dA = (1/2) du dv.

Passo 5

Substituindo tudo na integral, fica
integral duplaR(x^2-y^2),dA = integralu=0^1integralv=-2^0 (uv) cdot 12 ,dv,du
Vamos calcular por partes: primeiro em v,
integralv=-2^0 uv cdot 12 ,dv = 12 u integral-2^0 v ,dv = 12 u gl[v^22gr]-2^0 = 12 u (0 - 2) = -u
Agora em u,
integral0^1 (-u) ,du = -u^22 |0^1 = -12

Passo 6

Portanto, o valor da integral é um número negativo, concluindo o cálculo.

Resposta

-\tfrac12

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