Faça uma mudança de variáveis conveniente para calcular a integral
onde
é a região delimitada pelas retas
e
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla de
sendo R delimitada pelas retas y=−x, y=x, y=1−x e y=x+2. O conteúdo envolve mudança de variáveis para simplificar a forma do integrando e da região.
Passo 2
Observando que x2−y2 se fatoriza como (x+y)(x−y), é natural definir as variáveis
porque assim o integrando fica simplesmente uv.
Passo 3
Agora vamos ver como cada reta em (x,y) vira uma reta em (u,v):
- y = -x ⇒ u = x+y = 0
- y = x ⇒ v = x−y = 0
- y = 1−x ⇒ u = x+y = 1
- y = x+2 ⇒ v = x−y = -2
Logo, na região em (u,v) temos 0 ≤ u ≤ 1 e -2 ≤ v ≤ 0, um retângulo bem simples.
Passo 4
Para a mudança de variáveis precisamos do jacobiano. Invertendo:
O determinante da transformação é
Tomamos |J| = 1/2, então dA = (1/2) du dv.
Passo 5
Substituindo tudo na integral, fica
Vamos calcular por partes: primeiro em v,
Agora em u,
Passo 6
Portanto, o valor da integral é um número negativo, concluindo o cálculo.
Resposta
-\tfrac12