Obtenha o centroide do solido limitado por z=2 /(x^2+y^2+1), pelo plano xy e pelo cilindro x^2+y^2=2^2.

Passo 1

O enunciado pede o centroide do sólido que fica debaixo da superfície
z = 2x^2 + y^2 + 1,
acima do plano z=0 e dentro do cilindro x^2 + y^2 = 4.
Conteúdo: cálculo de centróide por integrais triplas em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Por simetria em theta (o sólido é circularmente simétrico em torno do eixo z), as coordenadas x e y do centróide são
bar x = 0, bar y = 0

Passo 3

Calculamos o volume V em coordenadas cilíndricas:
V = integraltheta=0^2piintegralr=0^2integralz=0^2r^2+1 r,dz,dr,dtheta
Integrando primeiro em z:
V = integral0^2pi!!integral0^2 rcdot2r^2+1,dr,dtheta = 2piintegral0^22rr^2+1,dr =4pil[tfrac12ln(r^2+1)r]0^2 =2piln5

Passo 4

Agora o momento em z,
Mz=integraltheta=0^2piintegralr=0^2integralz=0^2r^2+1 z,r,dz,dr,dtheta
Integramos em z:
Mz =2piintegral0^2r;12l(2r^2+1r)^2dr =2piintegral0^22r(r^2+1)^2,dr =4piintegral0^2r(r^2+1)^2,dr
Com a substituição u=r^2+1, du=2r,dr, obtemos
integral0^2r(r^2+1)^2,dr =12integral1^5u^-2du =12l[-u^-1r]1^5 =25
Logo
Mz = 4picdot25 = 8pi5

Passo 5

A coordenada z do centróide é
bar z = MzV =tfrac8pi52piln5 =85cdot12ln5 =45ln5

Resposta

(bar x,bar y,bar z) = l(0,,0,,tfrac45ln5r)

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