Obtenha, por meio de integral tripla, o volume do sólido limitado pela superfície z=raizy e os planos x+y=1, x=0 e z=0.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado por ,z=raizy,, pelos planos ,x=0,,;x+y=1 e ,z=0. O conteúdo é cálculo de volume por integral tripla, projetando o sólido no plano xy e integrando a função altura z=raizy.

Passo 2

Projete o sólido no plano xy. Como z varia de 0 até raizy, o volume é\r
V=integral duplaRl(integral0^raizydzr)dA=integral duplaRraizy,dA,\r
onde R=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+y<=1. Em coordenadas cartesianas:\r
V=integralx=0^1integraly=0^1-xraizy,dy,dx

Passo 3

Calcule a integral em y:\r
\r
Logo\r
V=integral0^1tfrac23(1-x)^3/2dx

Passo 4

Use a substituição u=1-x, du=-dx, limites de x=0to1 viram u=1to0:\r

Resposta

V=tfrac415

Exercícios relacionados