Calcule a integral
sendo a região integração limitada pela curvas
,
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla
sobre uma região limitada pelas curvas
,
e
. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e determinação de regiões de integração.
Passo 2
Vamos começar desenhando as curvas para visualizar a região de integração:
-
é uma parábola que abre para a direita. -
é uma reta decrescente. -
é uma linha horizontal.
Passo 3
Encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites da região:
- Entre
e :
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Resolvendo a equação quadrática:
ou
- Entre
e :
- Entre
e :
Passo 4
Determinar os limites de integração. Observando os pontos de interseção, a região é dividida em duas partes:
- De
a , onde varia de a . - De
a , onde varia de a .
Passo 5
Escrever a integral dupla dividida em duas integrais simples devido à divisão da região:
Passo 6
Calcular a primeira integral:
Integrando em relação a
:
Simplificando:
Agora, integrar em relação a
:
Calculando:
Passo 7
Calcular a segunda integral:
Integrando em relação a
:
Agora, integrar em relação a
:
Calculando:
Resposta
Somando as duas integrais, temos:
Portanto, o valor da integral é
.