Calcule a integral integral dupla x y d A sendo a região integração limitada pela curvas y=raizx, y=6-x e y=4.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral dupla integral dupla x y , dA sobre uma região limitada pelas curvas y=raizx, y=6-x e y=4. Isso envolve conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e determinação de regiões de integração.

Passo 2

Vamos começar desenhando as curvas para visualizar a região de integração:
  • y = raizx é uma parábola que abre para a direita.
  • y = 6 - x é uma reta decrescente.
  • y = 4 é uma linha horizontal.

Passo 3

Encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites da região:
  • Entre y = raizx e y = 6 - x:
    raizx = 6 - x
    Elevando ambos os lados ao quadrado:
    x = (6 - x)^2
x = 36 - 12x + x^2
x^2 - 13x + 36 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
x = 4 ou x = 9
  • Entre y = 6 - x e y = 4:
6 - x = 4
x = 2
  • Entre y = raizx e y = 4:
    4 = raizx
x = 16

Passo 4

Determinar os limites de integração. Observando os pontos de interseção, a região é dividida em duas partes:
  1. De x = 0 a x = 4, onde y varia de raizx a 6 - x.
  2. De x = 4 a x = 16, onde y varia de raizx a 4.

Passo 5

Escrever a integral dupla dividida em duas integrais simples devido à divisão da região:
integral dupla x y , dA = integral0^4 integralraizx^6 - x x y , dy , dx + integral4^16 integralraizx^4 x y , dy , dx

Passo 6

Calcular a primeira integral:
integral0^4 ( integralraizx^6 - x x y , dy ) dx
Integrando em relação a y:
x [ y^22 ]raizx^6 - x = x ( (6 - x)^22 - x2 )
Simplificando:
x ( 36 - 12x + x^2 - x2 ) = x ( 36 - 13x + x^22 ) = x(36 - 13x + x^2)2
Agora, integrar em relação a x:
12 integral0^4 (36x - 13x^2 + x^3) , dx = 12 [ 18x^2 - 133x^3 + x^44 ]0^4
Calculando:
12 ( 18(16) - 133(64) + 2564 ) = 12 (288 - 8323 + 64) = 12 ( 352 - 8323 ) = 12 ( 1056 - 8323 ) = 12 ( 2243 ) = 1123

Passo 7

Calcular a segunda integral:
integral4^16 ( integralraizx^4 x y , dy ) dx
Integrando em relação a y:
x [ y^22 ]raizx^4 = x ( 162 - x2 ) = x ( 8 - x2 ) = 8x - x^22
Agora, integrar em relação a x:
integral4^16 ( 8x - x^22 ) dx = [ 4x^2 - x^36 ]4^16
Calculando:
( 4(256) - 40966 ) - ( 4(16) - 646 ) = (1024 - 40966) - (64 - 646) = 1024 - 6826 - 64 + 106 = 1024 - 64 - 672 = 288

Resposta

Somando as duas integrais, temos:
integral dupla x y , dA = 1123 + 288 = 1123 + 8643 = 9763
Portanto, o valor da integral é boxeddfrac9763.

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