Calcule a integral
integral0^2 integral0^raiz4-y^2 integralraizx^2+y^2^raiz8-x^2-y^2 z x d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integral0^2integral0^raiz4-y^2integralraizx^2+y^2^raiz8 - x^2 - y^2 z cdot x , dz , dx , dy
O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, pois a região em xy é o quarto de círculo de raio 2 (primeiro quadrante), e as superfícies em z são o cone z=raizx^2+y^2 e a meia-esfera z=raiz8 - (x^2+y^2).

Passo 2

Fazemos a mudança para coordenadas cilíndricas:
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z, dx,dy,dz = r,dr,dtheta,dz
O integrando z,x vira z,(rcostheta) e o jacobiano é r, logo o integrando total fica
r^2zcostheta

Passo 3

Em cilíndricas, os limites são
0 <= theta <= pi2, 0 <= r <= 2, r <= z <= raiz8 - r^2
Assim a integral fica
integral0^pi/2!integral0^2!integralr^raiz8-r^2 r^2zcostheta ;dz;dr;dtheta

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em z:
integralr^raiz8-r^2 z,dz = l[tfrac12z^2r]r^raiz8-r^2 = tfrac12l((8-r^2) - r^2r) =4 - r^2
Multiplicando por r^2costheta obtemos o integrando reduzido
r^2(4 - r^2)costheta

Passo 5

Agora separamos as integrais em theta e em r:
integral0^pi/2costheta,dtheta ;times; integral0^2r^2(4 - r^2),dr
A primeira vale
integral0^pi/2costheta,dtheta = l[sinthetar]0^pi/2 = 1,
e a segunda é
integral0^2(4r^2 - r^4),dr = l[tfrac4r^33 - tfracr^55r]0^2 = tfrac323 - tfrac325 = tfrac32(5-3)15 = tfrac6415

Resposta

6415

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