Calcule a integral
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
O conteúdo é mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas, pois a região em
é o quarto de círculo de raio
(primeiro quadrante), e as superfícies em
são o cone
e a meia-esfera
.
Passo 2
Fazemos a mudança para coordenadas cilíndricas:
O integrando
vira
e o jacobiano é
, logo o integrando total fica
Passo 3
Em cilíndricas, os limites são
Assim a integral fica
Passo 4
Calculamos primeiro a integral interna em
:
Multiplicando por
obtemos o integrando reduzido
Passo 5
Agora separamos as integrais em
e em
:
A primeira vale
e a segunda é