Calcule a integral
integral0^1 integral0^raiz1-x^2 integralx^2+y^2-1^1-x^2-y^2 z^4 d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
integralx=0^1integraly=0^raiz1-x^2integralz=x^2+y^2-1^1-x^2-y^2z^4,dz,dy,dx
Aqui usamos dois conteúdos principais: integração de um polinômio em z (fórmula de potência) e depois integração sobre a região planar x^2+y^2<=1, x,y>=0, para a qual é mais fácil passar a coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro fazemos a integral interna em z. Chamemos
a = x^2+y^2-1, b = 1 - (x^2+y^2)
Então
integralz=a^bz^4,dz =l[tfracz^55r]a^b =b^5-a^55
Como a=-(,1-(x^2+y^2)!)=-b, temos a^5 = -b^5 e
b^5-a^5 =b^5-(-b^5) =2,b^5,
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integrala^bz^4,dz =2,b^55 =25l(1-(x^2+y^2)r)^5

Passo 3

A integral original vira
25 integralx=0^1integraly=0^raiz1-x^2 l(1-(x^2+y^2)r)^5 ,dy,dx
A região de integração em (x,y) é o quarto de disco de raio 1.

Passo 4

Passamos a coordenadas polares:
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta,
com rin[0,1] e thetain[0,tfracpi2]. Então
integralx,y l(1-(x^2+y^2)r)^5dA =integraltheta=0^pi/2integralr=0^1(1-r^2)^5,r,dr,dtheta
Multiplicando o fator tfrac25, temos
25 integral0^pi/2!!integral0^1(1-r^2)^5,r,dr,dtheta

Passo 5

Calculemos a integral em r por substituição u=1-r^2, du=-2r,dr:
integral0^1r,(1-r^2)^5dr =integralu=1^0u^5,l(-tfracdu2r) =12integral0^1u^5du =12cdot16 =112

Passo 6

Agora a integral total é
25;l(integral0^pi/2dthetar);l(112r) =25cdotpi2cdot112 =pi60

Resposta

pi60

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