Calcule a integral
I=integral duplaR(x+y) d A
sendo R a região limitada pela curvas y=0, y=2 x e y=3-x^2 no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I=integral duplaR(x+y),dA
onde R é a região do primeiro quadrante limitada por
y=0, y=2x, y=3-x^2
O que precisamos fazer é:
1) desenhar mentalmente (ou esboçar) a região e encontrar os pontos de interseção das curvas;
2) expressar R em coordenadas cartesianas, possivelmente quebrando em duas faixas de x;
3) integrar (x+y) em cada faixa e somar os resultados.

Passo 2

Encontramos as interseções relevantes no primeiro quadrante:
  • Entre y=2x e y=3-x^2:
2x = 3 - x^2 ;Longrightarrow; x^2 + 2x -3=0 ;Longrightarrow; x=1(descartamos x=-3)
Nesse ponto y=2cdot 1=2.
  • Entre y=3-x^2 e o eixo y=0:
3 - x^2 = 0 ;Longrightarrow; x=raiz3
Logo a região R é o polígono curvo formado pelos pontos (0,0)to(1,2)to(raiz3,0). Para integrá-la, dividimos em duas partes em x:
0<= x<= 1, & 0<= y<= 2x, 1<= x<= raiz3, & 0<= y<= 3-x^2

Passo 3

Calculamos
I1=integralx=0^1integraly=0^2x(x+y),dy,dx
Primeiro a integral em y:
integral0^2x(x+y),dy =l[x,y+tfracy^22r]0^2x =2x^2+(2x)^22 =2x^2+2x^2=4x^2
Então
I1=integral0^14x^2,dx =4cdotx^33|0^1 =43

Passo 4

Agora
I2=integralx=1^raiz3integraly=0^3-x^2(x+y),dy,dx
De novo, a interna em y:
integral0^3-x^2(x+y),dy =l[x,y+tfracy^22r]0^3-x^2 =x(3-x^2)+(3-x^2)^22
Expandindo:
x(3-x^2)=3x-x^3, (3-x^2)^22 =9-6x^2+x^42 =92-3x^2+x^42
Logo o integrando em x é
3x - x^3 + 92 - 3x^2 + x^42 =x^42-x^3-3x^2+3x+92
Uma antiderivada é
F(x) =x^510-x^44-x^3+3x^22+9x2
I2 =F(raiz3)-F(1)
Calculando,
F(raiz3) =9raiz310-94-3raiz3+92+9raiz32 =12raiz35+94,
F(1) =110-14-1+32+92 =9720
Subtraindo,
I2 =l(12raiz35+94r)-9720 =12raiz3-135

Passo 5

Somando as duas partes:
I=I1+I2 =43+12raiz3-135 =36raiz3-1915

Resposta

I=36raiz3-1915

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