Inverta a ordem de integração para d y d x d z e em seguida calcule a integral
integral-1^1 integralx^2^1 integral0^1-y x y z d z d y d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos calcular a integral
integral-1^1integraly=x^2^1integralz=0^,1-yx,y,z,dz,dy,dx
e, antes de calcular, inverter a ordem de integração para dy,dx,dz. O conteúdo envolvido é geometria do domínio e uso de simetria para simplificar a integral.

Passo 2

Descrevemos o domínio D por
D=(x,y,z)mid -1<= x<=1,;x^2<= y<=1,;0<= z<=1-y
Para reescrever em ordem dy,dx,dz, note que z<=1-y<=1-x^2, o que implica
0<= z<=1
Para cada z fixo, a condição y<=1 e z<=1-y vira y<=1-z, e ainda temos y>= x^2, o que implica |x|<=raiz1-z. Logo as variáveis satisfazem
0<= z<=1, -raiz1-z<= x<=raiz1-z, x^2<= y<=1-z

Passo 3

A integral com a ordem invertida fica
integralz=0^1integralx=-raiz1-z^raiz1-zintegraly=x^2^,1-zx,y,z,dy,dx,dz

Passo 4

Calculamos primeiro a integral interna em y:
integraly=x^2^,1-zx,y,z,dy = x,z[y^22]y=x^2^,1-z = x,z2l((1-z)^2 - x^4r)

Passo 5

Agora integramos em x:
integralx=-raiz1-z^raiz1-zx,z2l((1-z)^2 - x^4r),dx =z2l((1-z)^2underbraceintegral-raiz1-z^raiz1-zx,dx0 -underbraceintegral-raiz1-z^raiz1-zx^5,dx0r) =0,
pois ambas as integrais são de funções ímpares em intervalo simétrico.

Passo 6

Finalmente, ao integrar em z obtemos
integral0^10,dz=0

Resposta

A integral, na ordem dy,dx,dz,
integralz=0^1integralx=-raiz1-z^raiz1-zintegraly=x^2^,1-zx,y,z,dy,dx,dz
é igual a 0.

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