Esboce a região compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área e o eixo
Passo 1
Então, a gente tem que esboçar a região que fica entre a curva e o eixo . Basicamente, vamos calcular a área dessa região. Para fazer isso, a gente precisa saber onde a curva cruza o eixo , porque esses pontos vão definir os limites da nossa área. Vamos usar o cálculo integral para encontrar essa área.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde a curva cruza o eixo . Isso acontece quando . Então, resolvemos a equação:
Podemos fatorar isso assim:
Agora, temos duas partes: ou . Vamos resolver a segunda parte usando a fórmula de Bhaskara:
Então, as soluções são e .
Passo 3
Agora, sabemos que a curva cruza o eixo nos pontos , e . Vamos determinar em quais intervalos a curva está acima ou abaixo do eixo , para saber como calcular a área.
Vamos escolher um valor de em cada intervalo:
Para , digamos :
Aqui, , então a curva está abaixo do eixo .
Para , digamos :
Aqui, , então a curva está acima do eixo .
Para , digamos :
Aqui, , então a curva está abaixo do eixo .
Para , digamos :
Aqui, , então a curva está acima do eixo .
Passo 4
Agora, para calcular a área entre a curva e o eixo , vamos integrar o valor absoluto de nos intervalos onde a curva está acima ou abaixo do eixo. Assim, a área total será:
Note que no intervalo , , então mantemos o sinal positivo. No intervalo , , então subtraímos para considerar o valor absoluto.
Passo 5
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, para :
Avaliando de a :
Segundo, para :
Usamos a mesma antiderivada:
Como a área deve ser positiva, usamos o valor absoluto: