Esboce a região R compreendida entre as curvas dadas e calcule sua área
y=x^3-x^2-6 x e o eixo x

Passo 1

Então, a gente tem que esboçar a região R que fica entre a curva y = x^3 - x^2 - 6x e o eixo x . Basicamente, vamos calcular a área dessa região. Para fazer isso, a gente precisa saber onde a curva cruza o eixo x , porque esses pontos vão definir os limites da nossa área. Vamos usar o cálculo integral para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde a curva cruza o eixo x . Isso acontece quando y = 0 . Então, resolvemos a equação:
x^3 - x^2 - 6x = 0
Podemos fatorar isso assim:
x(x^2 - x - 6) = 0
Agora, temos duas partes: x = 0 ou x^2 - x - 6 = 0 . Vamos resolver a segunda parte usando a fórmula de Bhaskara:
x = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Então, as soluções são x = 3 e x = -2 .

Passo 3

Agora, sabemos que a curva cruza o eixo x nos pontos x = -2 , x = 0 e x = 3 . Vamos determinar em quais intervalos a curva está acima ou abaixo do eixo x , para saber como calcular a área.
Vamos escolher um valor de x em cada intervalo:
  • Para x < -2 , digamos x = -3 :
y = (-3)^3 - (-3)^2 - 6(-3) = -27 - 9 + 18 = -18
Aqui, y < 0 , então a curva está abaixo do eixo x .
  • Para -2 < x < 0 , digamos x = -1 :
y = (-1)^3 - (-1)^2 - 6(-1) = -1 - 1 + 6 = 4
Aqui, y > 0 , então a curva está acima do eixo x .
  • Para 0 < x < 3 , digamos x = 1 :
y = 1^3 - 1^2 - 6(1) = 1 - 1 - 6 = -6
Aqui, y < 0 , então a curva está abaixo do eixo x .
  • Para x > 3 , digamos x = 4 :
y = 4^3 - 4^2 - 6(4) = 64 - 16 - 24 = 24
Aqui, y > 0 , então a curva está acima do eixo x .

Passo 4

Agora, para calcular a área entre a curva e o eixo x , vamos integrar o valor absoluto de y nos intervalos onde a curva está acima ou abaixo do eixo. Assim, a área total A será:
A = integral-2^0 (x^3 - x^2 - 6x) , dx - integral0^3 (x^3 - x^2 - 6x) , dx
Note que no intervalo [-2, 0], y > 0 , então mantemos o sinal positivo. No intervalo [0, 3], y < 0 , então subtraímos para considerar o valor absoluto.

Passo 5

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeiro, para integral-2^0 (x^3 - x^2 - 6x) , dx :
integral (x^3 - x^2 - 6x) , dx = x^44 - x^33 - 3x^2 + C
Avaliando de -2 a 0:
[ 0^44 - 0^33 - 3(0)^2 ] - [ (-2)^44 - (-2)^33 - 3(-2)^2 ] = 0 - ( 164 - -83 - 12 ) = 0 - (4 + 83 - 12) = 0 - (-43) = 43
Segundo, para integral0^3 (x^3 - x^2 - 6x) , dx :
Usamos a mesma antiderivada:
[ 3^44 - 3^33 - 3(3)^2 ] - [ 0^44 - 0^33 - 3(0)^2 ] = ( 814 - 9 - 27 ) - 0 = 814 - 36 = -634
Como a área deve ser positiva, usamos o valor absoluto:
| -634 | = 634

Resposta

A área da região R é:
A = 43 + 634 = 1612 + 18912 = 20512 approx 17,08 unidades quadradas

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