Seja de classe e seja um ponto interior do domínio de . Suponhamos que seja ponto crítico de .
Em relação a matriz Hessiana de no ponto crítico, estabeleça condições suficientes para garantir que o ponto é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela.
Passo 1
O enunciado diz que é de classe e que é um ponto crítico, isto é,
Queremos condições suficientes, em termos da matriz Hessiana
para classificar o ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.
Passo 2
Perto de usamos o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem sem o termo linear (pois o gradiente é zero):
A forma quadrática
é quem decide o tipo de ponto.
Passo 3
Se todos os autovalores de H em l(x0,y0,z0r) são positivos, então
Q(h,k,ell)>0para todo (h,k,ell)neq(0,0,0),
logo f cresce em todas as direções e l(x0,y0,z0r) é um mínimo local.
Se todos os autovalores são negativos, então Q<0 em todas as direções e temos um máximo local.
Se há sinais mistos nos autovalores (isto é, H é indefinida), Q assume valores positivos em algumas direções e negativos em outras, caracterizando um ponto de sela.
Passo 4
Uma forma prática de verificar a definitude de é pelo critério de Sylvester, usando os menores principais:
Definida positiva (mínimo local):
Definida negativa (máximo local):
Indefinida (ponto de sela):
pois isso já implica que há autovalores de sinais opostos.
Resposta
Para l(x0,y0,z0r) ponto crítico de f:
(a) Se todos os autovalores de H são positivos (ou equivalentemente D1>0,;D2>0,;D3>0), o ponto é mínimo local.
(b) Se todos os autovalores de H são negativos (ou D1<0,;D2>0,;D3<0), o ponto é máximo local.
(c) Se H é indefinida (autovalores mistos ou D3<0), o ponto é um ponto de sela.