Seja f(x, y, z) de classe C^2 e seja (x0, y0, z0) um ponto interior do domínio de f. Suponhamos que (x0, y0, z0) seja ponto crítico de f.
Em relação a matriz Hessiana de f no ponto crítico, estabeleça condições suficientes para garantir que o ponto é um mínimo local, um máximo local ou um ponto de sela.

Passo 1

O enunciado diz que fcolonR^3toR é de classe C^2 e que l(x0,y0,z0r) é um ponto crítico, isto é,
nabla f(x0,y0,z0)=l(fx,fy,fzr)(x0,y0,z0)=l(0,0,0r)
Queremos condições suficientes, em termos da matriz Hessiana
H= fxx & fxy & fxz fyx & fyy & fyz fzx & fzy & fzz !(x0,y0,z0),
para classificar o ponto como mínimo local, máximo local ou ponto de sela.

Passo 2

Perto de usamos o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem sem o termo linear (pois o gradiente é zero):
A forma quadrática
é quem decide o tipo de ponto.

Passo 3

Se todos os autovalores de H em l(x0,y0,z0r) são positivos, então
Q(h,k,ell)>0para todo (h,k,ell)neq(0,0,0),
logo f cresce em todas as direções e l(x0,y0,z0r) é um mínimo local.
Se todos os autovalores são negativos, então Q<0 em todas as direções e temos um máximo local.
Se há sinais mistos nos autovalores (isto é, H é indefinida), Q assume valores positivos em algumas direções e negativos em outras, caracterizando um ponto de sela.

Passo 4

Uma forma prática de verificar a definitude de é pelo critério de Sylvester, usando os menores principais:
Definida positiva (mínimo local):
Definida negativa (máximo local):
Indefinida (ponto de sela):
pois isso já implica que há autovalores de sinais opostos.

Resposta

Para l(x0,y0,z0r) ponto crítico de f:
(a) Se todos os autovalores de H são positivos (ou equivalentemente D1>0,;D2>0,;D3>0), o ponto é mínimo local.
(b) Se todos os autovalores de H são negativos (ou D1<0,;D2>0,;D3<0), o ponto é máximo local.
(c) Se H é indefinida (autovalores mistos ou D3<0), o ponto é um ponto de sela.

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