Calcule a integral integral0^raiz3 raizarctg(x)1+x^2 d x.

Passo 1

Vamos analisar o problema: precisamos calcular a integral definida de 0 a √3 de √(arctg(x)) dividida por (1 + x²) em relação a x. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integração que utiliza substituição e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada e entender a derivada da função arctangente.

Passo 2

Primeiro, observamos que temos √(arctg(x)) no numerador e (1 + x²) no denominador. Sabemos que a derivada da arctangente de x, ou seja, d(arctg(x))/dx, é 1/(1 + x²). Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.

Passo 3

Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
u = arctg(x)
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
dudx = 11 + x^2
Isso implica que:
du = 11 + x^2 , dx

Passo 4

Substituímos u e du na integral original. A integral fica:
integral raizu , du
Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição feita. Quando x = 0:
u = arctg(0) = 0
Quando x = √3:
u = arctg(raiz3) = pi3

Passo 5

Agora, a integral simplificada é:
integral0^pi3 raizu , du
Para resolver essa integral, usamos a regra da potência. Sabemos que:
integral u^n , du = u^n+1n+1 + C
Aqui, n = 1/2, então:
integral raizu , du = integral u^12 , du = 23 u^32 + C

Passo 6

Aplicamos os limites de integração:
[ 23 u^32 ]0^pi3 = 23 ( (pi3)^32 - 0^32 )
Como o segundo termo é zero, fica:
23 (pi3)^32

Passo 7

Simplificamos a expressão:
23 (pi3)^32 = 23 cdot pi^323^32
Sabendo que 3^32 = 3 raiz3 , temos:
23 cdot pi^323 raiz3 = 2 pi^329 raiz3
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por √3:
2 pi^32 raiz39 cdot 3 = 2 raiz3 , pi^3227

Resposta

A integral vale dfrac2 raiz3 , pi^3/227.

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