Calcule a integral
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Passo 1
Vamos analisar o problema: precisamos calcular a integral definida de 0 a √3 de √(arctg(x)) dividida por (1 + x²) em relação a x. Esse exercício envolve cálculo integral, especificamente integração que utiliza substituição e funções trigonométricas inversas. Para resolver, vamos precisar usar a substituição adequada e entender a derivada da função arctangente.
Passo 2
Primeiro, observamos que temos √(arctg(x)) no numerador e (1 + x²) no denominador. Sabemos que a derivada da arctangente de x, ou seja, d(arctg(x))/dx, é 1/(1 + x²). Isso sugere que podemos usar uma substituição para simplificar a integral.
Passo 3
Vamos fazer uma substituição para facilitar a integração. Seja:
Agora, calculamos a derivada de u em relação a x:
Isso implica que:
Passo 4
Substituímos u e du na integral original. A integral fica:
Também precisamos ajustar os limites de integração de acordo com a substituição feita. Quando x = 0:
Quando x = √3:
Passo 5
Agora, a integral simplificada é:
Para resolver essa integral, usamos a regra da potência. Sabemos que:
Aqui, n = 1/2, então:
Passo 6
Aplicamos os limites de integração:
Como o segundo termo é zero, fica:
Passo 7
Simplificamos a expressão:
Sabendo que
, temos:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por √3:
Resposta
A integral vale
.