Calcule a integral integral 5 x^2+2 x+2(x-1)(x^2+x+1) d x.

Passo 1

Ei! Vamos resolver essa integral juntos. O problema pede para calcular a integral de uma função racional, ou seja, uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador são polinômios. Para resolver isso, vamos usar o método de frações parciais, que é uma técnica bacana para integrar funções desse tipo. Precisaremos de conhecimentos básicos de álgebra para decompor a fração e depois integrar cada parte separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 5x^2 + 2x + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) em frações parciais. Sabemos que o denominador pode ser fatorado em (x - 1) e (x^2 + x + 1), onde (x^2 + x + 1) é um polinômio quadrático que não pode ser fatorado mais. Portanto, podemos escrever:
5x^2 + 2x + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) = Ax - 1 + Bx + Cx^2 + x + 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar os valores de [A), e . Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador comum :
Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:
Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes:
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para o termo constante:
Agora, temos um sistema de três equações:
Vamos resolver esse sistema:
Da terceira equação:
Substituindo (C] na segunda equação:
Agora temos:
Somando as duas equações:
Substituindo na primeira equação:
E já sabemos que:
Então, , e .

Passo 4

Agora que temos os valores de A, B e C, podemos reescrever a integral original com as frações parciais encontradas:
integral 5x^2 + 2x + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) dx = integral ( 3x - 1 + 2x + 1x^2 + x + 1 ) dx

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integral de 3x - 1:
integral 3x - 1 dx = 3 ln|x - 1| + C1
Aqui, usamos a regra básica da integral de 1x, que é ln|x|.
  1. Integral de 2x + 1x^2 + x + 1:
Primeiro, vamos completar o quadrado no denominador x^2 + x + 1:
x^2 + x + 1 = (x + 12)^2 + 34
Agora, reescrever a fração:
2x + 1x^2 + x + 1 = 2(x + 12)(x + 12)^2 + 34
Assim, a integral fica:
integral 2(x + 12)(x + 12)^2 + 34 dx
Agora, fazemos uma substituição u = x + 12, então du = dx:
integral 2uu^2 + 34 du = 2 cdot 12 ln|u^2 + 34| + C2 = ln(x^2 + x + 1) + C2

Passo 6

Agora, juntando as integrais que calculamos:
integral 5x^2 + 2x + 2(x - 1)(x^2 + x + 1) dx = 3 ln|x - 1| + ln(x^2 + x + 1) + C

Resposta

A integral é igual a 3 ln|x - 1| + ln(x^2 + x + 1) + C, onde C é a constante de integração.

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