Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=cos (x), y=e^x e x=pi / 2;

Passo 1

A questão pede para determinar e esboçar a área da região delimitada pelas curvas y = cos(x), y = e^x e a reta x = pi/2. Esse tipo de problema envolve calcular áreas entre curvas, para isso vamos precisar dos pontos de interseção e identificar qual curva fica acima da outra para montar a integral certa.

Passo 2

Primeiro, encontramos o ponto de interseção entre y = cos(x) e y = e^x. Resolvendo cos(x) = e^x, obtemos x = 0 (pois cos(0) = 1 e e^0 = 1), então o limite esquerdo da região é x = 0.
Em seguida, para x entre 0 e pi/2, comparamos as funções. Como e^x cresce e cos(x) decresce nesse intervalo, temos e^x >= cos(x). Testando um valor intermediário, por exemplo x = pi/4, confirma-se que e^x > cos(x). Assim, y = e^x é a curva superior e y = cos(x) é a inferior.

Passo 3

Com os limites x=0 e x=pi/2 definidos e as funções superior/inferior identificadas, montamos a integral da área como
integral0^pi/2 l(e^x - cos(x)r),dx

Passo 4

Calculamos a integral. As antiderivadas são integral e^x,dx = e^x e integral cos(x),dx = sin(x). Avaliando de 0 a pi/2 obtemos
l[e^x - sin(x)r]0^pi/2 = l(e^pi/2 - sin(pi/2)r) - l(e^0 - sin(0)r) = l(e^pi/2 - 1r) - l(1 - 0r) = e^pi/2 - 2

Passo 5

Por fim, o esboço da região mostra a curva y = e^x acima de y = cos(x) no intervalo de x = 0 a x = pi/2, e a linha vertical em x = pi/2 fechando a região. É preferível integrar em relação a x porque a região é simples nesse sentido (um único intervalo de x em que uma função é sempre acima da outra).

Resposta

e^pi/2 - 2

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