Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
e
;
Passo 1
A questão pede para determinar e esboçar a área da região delimitada pelas curvas
,
e a reta
. Esse tipo de problema envolve calcular áreas entre curvas, para isso vamos precisar dos pontos de interseção e identificar qual curva fica acima da outra para montar a integral certa.
Passo 2
Primeiro, encontramos o ponto de interseção entre
e
. Resolvendo
, obtemos
(pois
e
), então o limite esquerdo da região é
.
Em seguida, para entre
e
, comparamos as funções. Como
cresce e
decresce nesse intervalo, temos
. Testando um valor intermediário, por exemplo
, confirma-se que
. Assim,
é a curva superior e
é a inferior.
Em seguida, para
Passo 3
Com os limites
e
definidos e as funções superior/inferior identificadas, montamos a integral da área como
Passo 4
Calculamos a integral. As antiderivadas são
e
. Avaliando de
a
obtemos
Passo 5
Por fim, o esboço da região mostra a curva
acima de
no intervalo de
a
, e a linha vertical em
fechando a região. É preferível integrar em relação a
porque a região é simples nesse sentido (um único intervalo de
em que uma função é sempre acima da outra).