Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y. e
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos a área da região comum às curvas (parábola côncava para cima) e (parábola côncava para baixo). O conteúdo é cálculo de área por integral definida; vamos precisar determinar os pontos de interseção e depois integrar a diferença entre as funções.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de :
Logo, ou . Esses são os limites em da região de interesse.
Passo 3
Observando o formato da região, entre e a curva superior é e a inferior é . Não há divisão em subregiões nem ambiguidade de inversões em , portanto é preferível integrar em relação a .
Esboço da região: no plano xy, plotamos a parábola y=x^2 (abre para cima) e a parábola y=4x-x^2 (abre para baixo com vértice em (2,4)). As curvas se cruzam em (0,0) e (2,4). A região procurada é a “lente” entre essas parábolas, para 0<= x<=2, sombreada entre y=x^2 e y=4x-x^2.
Resposta
A melhor escolha é integrar em relação a x, e a área da região é tfrac83.