Determine e esboce a área da região delimitada pelas curvas fornecidas. Decida se é preferível integrar em relação a x ou a y.
y=x^2 e y=4 x-x^2

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a área da região comum às curvas ;y = x^2; (parábola côncava para cima) e ;y = 4x - x^2; (parábola côncava para baixo). O conteúdo é cálculo de área por integral definida; vamos precisar determinar os pontos de interseção e depois integrar a diferença entre as funções.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos as duas expressões de y:
x^2 ;=; 4x - x^2
2x^2 - 4x = 0
2x(x - 2) = 0
Logo, x=0 ou x=2. Esses são os limites em x da região de interesse.

Passo 3

Observando o formato da região, entre x=0 e x=2 a curva superior é yrm sup=4x - x^2 e a inferior é yrm inf=x^2. Não há divisão em subregiões nem ambiguidade de inversões em y, portanto é preferível integrar em relação a x.

Passo 4

A área A é dada por
A = integralx=0^2 l[(4x - x^2) - (x^2)r] ,dx = integral0^2 l(4x - 2x^2r),dx
Calculando:
integral0^2 4x,dx = l2x^2r|0^2 = 2cdot4 = 8,
integral0^2 2x^2,dx = 2cdot ltfracx^33r|0^2 = 2cdot tfrac83 = tfrac163
Portanto,
A = 8 - tfrac163 = tfrac243 - tfrac163 = tfrac83

Passo 5

Esboço da região: no plano xy, plotamos a parábola y=x^2 (abre para cima) e a parábola y=4x-x^2 (abre para baixo com vértice em (2,4)). As curvas se cruzam em (0,0) e (2,4). A região procurada é a “lente” entre essas parábolas, para 0<= x<=2, sombreada entre y=x^2 e y=4x-x^2.

Resposta

A melhor escolha é integrar em relação a x, e a área da região é tfrac83.

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