Calcule a integral.
integral-1^1 e^arctan y1+y^2 d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral-1^1 e^arctan y1+y^2,dy
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais. A ideia é usar a derivada de arctan y, pois sabemos que
ddyl(arctan yr)=11+y^2

Passo 2

Fazemos a substituição
u = arctan y,
então
du = 11+y^2,dy
Isso transforma o integrando e^arctan y1+y^2,dy em e^u,du.

Passo 3

Agora ajustamos os limites de integração. Quando y=-1, temos
u = arctan(-1) = -pi4,
e quando y=1,
u = arctan(1) = pi4
Portanto a integral original vira
integralu=-pi/4^,pi/4 e^u,du

Passo 4

Integramos e^u em relação a u:
integral e^u,du = e^u + C
Aplicando os limites de -tfracpi4 até tfracpi4, obtemos
l[e^ur]-pi/4^pi/4 = e^pi/4 - e^-pi/4

Resposta

e^pi4 - e^-pi4

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