Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe:
lim (x, y) (0,0) ln (1+y^2x^2+x y)

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) ln!gl(1+y^2x^2+xygr)
Estamos no assunto de limites em R^2 e precisamos checar onde a função está definida (argumento do ln deve ser positivo) e o comportamento da fração quando (x,y) se aproxime de (0,0).

Passo 2

Para que o logaritmo exista, precisamos
1+y^2x^2+xy>0
Como 1+y^2>0 sempre, impõe-se
x^2+xy>0 Long<=ftrightarrow x,(x+y)>0
Isso define duas “folhas” de domínio próximas da origem:
  • x>0 e x+y>0, ou
  • x<0 e x+y<0.

Passo 3

Em qualquer ponto do domínio acima, ao nos aproximarmos da origem temos
1+y^2to1, x^2+xyto0^+
Logo a fração
1+y^2x^2+xy;longrightarrow;+infty,
pois o numerador tende a 1 e o denominador a 0 por valores positivos.

Passo 4

Aplicando o logaritmo, como ln(t)to+infty quando tto+infty, temos
ln!gl(1+y^2x^2+xygr) ;longrightarrow; +infty
Não surge nenhum caminho no domínio em que o valor convirja a outro número real finito.

Resposta

+infty

Exercícios relacionados