Calcule a integral.
integral0^3 r^4 ln (r) d r

Passo 1

O enunciado pede calcular
integral0^3 r^4ln(r),dr
O conteúdo é integração por partes e precisamos conhecer a técnica de escolher u e dv, além de avaliar o limite em rto0^+ de termos como r^aln(r).

Passo 2

Escolhemos
u = ln(r), dv = r^4,dr
Então
du = 1r,dr, v = integral r^4,dr = r^55

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = uv - integral v,du,
temos
integral r^4ln(r),dr = r^55ln(r) - integral r^55cdot1r,dr = r^55ln(r) - 15integral r^4,dr

Passo 4

Calculando integral r^4,dr = tfracr^55, obtemos a antiderivada
r^55ln(r) - 15cdotr^55 = r^55ln(r) - r^525 + C

Passo 5

Avaliando de 0 a 3:
[r^55ln(r) - r^525]0^3 = l(3^55ln(3) - 3^525r) - limrto0^+l(r^55ln(r) - r^525r)
Como limrto0^+r^5ln(r)=0 e limrto0^+r^5=0, o termo inferior é zero. Logo
2435ln(3) - 24325 = 24325l(5ln(3)-1r)

Resposta

2435ln(3)-24325, que também pode ser escrito como 24325l(5ln(3)-1r)

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